第66讲定积分应用(1) 241 一A+-1=+-1+2)=+(-)-1 例3计算下列平面图形的面积: (1)平面图形由摆线x=a(t-sn),y=a(1-cost)的一拱与x轴围成(a>0); (2)平面图形是星形线x=acos2,y= aint围成的第一象限部分(a>0) 解(1)如图66-8所示,摆线与x轴交点的直角坐标分别为(0,0)及(2xa,0).当x由0 变到2xa时,由0变到2x,在[0,2xa]上,相应于任一小区间[x,x+dx]的面积元素dA dx=a2(1-cost)adt,故 A= a2(1-cost)2dt = a2(1-2cost cost )dt =a[t-2sint +o+-sin2t] =3a2 o xx+d 2丌 xx+dx 日66-8 图66-9 (2)如图66-9所示曲线在第一象限与x,y轴的交点依次为(a,0),(0,a),当x由0变到 a时,由2变到0在[0,a]上,相应于任一小区间[x,x+dx]的面积元素dA=ydx 3a2 sin'tcos2tdt,于是 A ya. 2 3asin'tcostdt=[3a2sin'tcos2tdt= 3a2(sin't-sint)dt 22 1=32 22 例4计算下列平面图形的面积: (1)平面图形是由圆周r=1及心形线r=1+cos0围成的公共部分; (2)平面图形由圆周r=√2sin及双纽线r2=cos2围成 解(1)如图66-10所示,两条曲线的交点为(1,“) yl r=l+coso 解法1所求面积可分为两部分:一部分为单位圆在一、四 象限的面积A=2,另一都分为心形线位于在第二、三象限所 围成的面积,且由对称性,可考虑第二象限部分选日为积分变 量,则在[,,丌]上相应于任一小区间[,0+d0的面积元素dA2 图66-10 =(1+cos)2d0,于是