第66讲定积分应用(1) 239 注:设一个上下限若y()()d为“正”的,则它就是图形的面积;若为“负”的则只 要更换一下积分上下限便得所求面积 3.极坐标下平面图形的面积 S r2(0)d0 S=[()-r()]d r=r(0) (b) 图66-3 例1求下列平面图形的面积 (1)求由曲线y=e,y=e-以及直线x=1围成的图形面积; (2)求两条抛物线x=y2一2y以及x=2y2-8y+6围成的图形面积 解(1)画出平面图形的草图如图66-4. 求出两曲线的交点即由{y二解出x=0,即得出交点横 坐标,交点纵生标y=1.选取x为积分变量,则x的变化区间为 [0,1],在[0,1]上任意小区间[x,x+dx相应的窄条面积近似 值即面积元素dA=(ex-e-)dx.于是 A=(e-e-)dx=[e+e-1b=e+e-1-2, t r+dx 若选积分变量为y则还要求出曲线与直线x=1的交点(1, e)及(1,e-1),y的变化区间为[e-1,e]因为在[e-1,e]上,对应的 曲边梯形曲边由两条曲线x=-lny与x=lny组成,故要把图形 图66-4 分成两部分,即在[e-,1]上的部分与[1,e]上的部分,相应于[e-,1]上的任一小区间[y,y +dy]的窄条曲边梯形的面积的近似值即面积元素dA1=(1+lny)dy,相应于[1,e]上的 任一小区间[y,y+dy的窄条曲边梯形面积即面积元素dA2=(1-lny)dy,于是 =4+4=.4+y)yx-my)dy +lnydy +e-l t lyly Lylny - y]s e-e1+[-1-(-e-1-e-l)]-[e (0-1)]=e+e-1-2. 显然,从上题的求解过程中可见,积分变量选取是否适当,直接影响计算的繁简一般积 分变量选取的原则是 (i)被积函数简单且易于求出它的原函数; (i)积分区间尽量不分块或少分块 用定积分的元素法求平面曲线围成的图形的面积(直角坐标情形)的步骤为: