推论12.3.1如果函数∫(x,y)在区域DcR2上的偏导数恒为零, 那么它在D上必是常值函数。 证设(x,y)是区域D上任意一点,则存在r>0,使得点(x,y)的 邻域O(x,y,r)cD。由定理12.3.1,对任意的(x,y)∈O(x,y"),r),存 在θ(0<θ<1),使得 f(x,y)-f(x3y)=f2(x+x,y+6小y)Ax+f,(x+Ax,y+的y)Ay=0 其中Ax=x-x,4y=y-y。因此 f(x,y)=f(x’,y),(x,y)∈O(x,y)r), 即f(x,y)在O(x,y),r)上是常值函数。 现设(x,y)为区域D上一定点,(x,y)为区域D上任意一点,则存 在连续映射y:[0→D,满足(0,1)<D,y(0)=(x02y),y(1)=(x,y), 即y是区域D中以(xn,y)为起点,以(x,y)为终点的道路。于是函数 f(y(ω)在[0,连续,且满足 f(y(0)=f(x0,y),f(y(1)=f(x,y)推论 12.3.1 如果函数 f (x, y)在区域 2 D  R 上的偏导数恒为零， 那么它在D上必是常值函数。 证 设(x  , y )是区域D上任意一点，则存在r   0，使得点(x  , y )的 邻域O((x  , y ),r )  D 。由定理 12.3.1，对任意的(x, y)  O((x  , y ),r )，存 在 （0  1），使得 f (x, y) − f (x  , y ) = f x (x  +x, y  +y)x + f y (x  +x, y  +y)y = 0， 其中x = x − x ，y = y − y 。因此 f (x, y) = f (x  , y )，(x, y)  O((x  , y ),r )， 即 f (x, y)在O((x  , y ),r )上是常值函数。 现设( , ) 0 0 x y 为区域D上一定点，(x, y)为区域D上任意一点，则存 在连续映射 :[0,1] → D，满足 ([0,1])  D， (0) = ( , ) 0 0 x y ， (1) = (x, y)， 即 是区域 D 中 以( , ) 0 0 x y 为起点，以(x, y)为终点的道路。于是函数 f ( (t))在[0,1]连续，且满足 ( (0)) ( , ) 0 0 f  = f x y ， f ( (1)) = f (x, y)