记 to=sup{s∈[0,1]1f(()=f(y(0)=f(x0,y0,t∈[0,]}, 则t0>0,且由f(x()的连续性,有f((n0)=f(xn,y)。 由于y(t)∈D,根据上面的证明,存在y(t)的邻域O(y(t0),),使 得O((t0))cD,且对于一切(x,y)∈O(y(t0)),成立 f(x, y)=f(r(to)=f(o, yo) 如果t<1,由y(m)的连续性可知,对于充分小的A>0,有t0+M<1 及y(o+△n)∈O(y(t0),),从而又成立f(y(t0+△)=f(y(t0)=f(x0,y), 这与t的定义矛盾,于是必有to=1。所以 f(x,y)=f((1)=f(y(0)=f(x,y0), 即f(x,y)在D上是常值函数记 sup{ [0,1]| ( ( )) ( (0)) ( , ), [0, ]} 0 0 0 t = s  f  t = f  = f x y t  s ， 则t 0  0，且由 f ( (t))的连续性，有 ( ( )) ( , ) 0 0 0 f  t = f x y 。 由于 0  ( ) t  D，根据上面的证明，存在 ( ) 0  t 的邻域 ( ( ), ) 0 0 O  t r ，使 得O( (t 0 ),r0 )  D，且对于一切(x, y)  ( ( ), ) 0 0 O  t r ，成立 f (x, y) = ( ( )) ( , ) 0 0 0 f  t = f x y 。 如果t 0  1，由 (t)的连续性可知，对于充分小的t  0，有t 0 + t 1 及 ( ) ( ( ), ) 0 0 0  t + t O  t r ，从而又成立 ( ( )) 0 f  t + t ( ( )) ( , ) 0 0 0 = f  t = f x y ， 这与 0 t 的定义矛盾，于是必有t 0 = 1。所以 ( , ) ( (1)) ( (0)) ( , ) 0 0 f x y = f  = f  = f x y ， 即 f (x, y)在D上是常值函数