定理12.3.1(中值定理)设二元函数f(x,y)在凸区域DcR2上 可微,则对于D内任意两点(x0,y)和(x0+Ax,y+4y),至少存在一个O (0<<1),使得 f(xo +Ar, yo +Ay)-f(xo,y =f(x+的Ax,y的y)Ax+f,(xo+的Ax,yo+的y)Ay 证因为D是凸区域,所以 (x+Ax,y+t小y)∈D,t∈[0.1 作辅助函数 (1)=f(x0+1x,y+1Ay), 这是定义在[0,上的一元函数,由已知条件,g(1)在[0连续,在(0,)可 导,且 (t)=f(xo+tAx, yo+ tAy)Ax+f(o+tAx, yo tAy)Ay 由 Lagrange中值定理,可知存在θ(0<θ<1),使得 qp(1)-(0)=q(6)。 注意(1)=f(x+Ax,y+4y),(0)=f(x0,y),并将g()的表达式代入上 式,即得到定理的结论定理 12.3.1 (中值定理) 设二元函数 f (x, y)在凸区域 2 D  R 上 可微，则对于D内任意两点( , ) 0 0 x y 和( , ) 0 0 x + x y + y ，至少存在一个 （0  1），使得 ( , ) ( , ) . ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 f x x y y x f x x y y y f x x y y f x y = x +  +   + y +  +   +  +  −     证 因为D是凸区域，所以 0 0 ( , ) x t x y t y +  +   D，t [0,1]。 作辅助函数 ( ) ( , ) 0 0  t = f x + tx y + ty ， 这是定义在[0,1]上的一元函数，由已知条件，(t)在[0,1]连续，在(0,1) 可 导，且 t f x t x y t y x f x t x y t y y ( ) = x ( 0 +  , 0 +  ) + y ( 0 +  , 0 +  ) 。 由 Lagrange 中值定理，可知存在 （0  1），使得 (1) −(0) = ()。 注意 (1) ( , ) 0 0  = f x + x y + y ， (0) ( , ) 0 0  = f x y ，并将(t)的表达式代入上 式，即得到定理的结论