两边积分即得 sin +c y 因此通解为 y sIn tc 这里c为任意常数,但是无论c取怎样的常数值,都不会是解y=0,因而原 方程的一切解应由上述通解和特解y=0组成 为了求出初值问题的解,首先看出解y=0显然不满足初始条件,因此只 能在通解中去找为此在(1.23)中令x=0,y=1即得c=-1,于是所求初 值问题的解为y 1-sin z 例1.2.2求线性齐次方程 d= p(a)y (1.2.4) 的通解,其中p(x)为x的连续函数 解显然y=0是(1.2.4)的解.若y≠0.,方程两边乘以y-1,得 y dy= p(r)de, 两边积分得到隐式通解 In(y/c)=/p(r)dr, 其中c为非零的任意实常数,等式右边表示p(x)的任一个原函数.由对数性 质可化为显式通解 y=cexp p(a)d (1.2.5) 里及以后常用exp(t)来表示指数函数e.如果允许(1.2.5)中 (1.25)包含了特解y=0,因此(1.25)可以表示(12.4)的一切解,只要认为 其中c为任意实常数 对于微分形式的变量分离方程: f(a)g(y)dr +h(y)k(a)dy=0, 其中f(x),9(y),h(y),k(x)都是已知函数.k(x)9(y)≠0时,我们可以将方程 两边同除以k(x)9(y)来分离变量,得 f(a)dr h(y)dy k(x)9()0 两边积分得通解: f(er) h(y)dy k( g(y))h@usl − 1 y = sin x + c. 'c' ' y = − 1 sin x + c . (1.2.3) (( c 't#, = K c wX#+,  y = 0, 'U+ v3E f8' D y = 0 r. 'MYZ+GH , yzZ y = 0 `g78!k, 'cV P' IJL. 'c (1.2.3) I& x = 0, y = 1 sl c = −1, \ $Y +GH ' y = 1 1 − sin x . v 1.2.2 Y:;jv3 dy dx = p(x)y (1.2.4) ' , XI p(x) ' x no"#. * `g y = 0 (1.2.4) . @ y 6= 0, v3)h$ y −1 , l y −1dy = p(x)dx, )h@ulM,d' ln(y/c) = Z p(x)dx, XI c '9tE#, dghr p(x) *+"#. #; CO!'`d' y = c exp µZ p(x)dx ¶ . (1.2.5) (( { exp(t) ;r*#"# e t . q> (1.2.5) I c = 0<  (1.2.5) :~MD y = 0, 'c (1.2.5) Or (1.2.4) E , Vou' XI c 'tE#. \tu6d &uv3: f(x)g(y)dx + h(y)k(x)dy = 0, XI f(x), g(y), h(y), k(x)  z{"#. k(x)g(y) 6= 0 )< |}Obv3 )hWk k(x)g(y) ;u &< l f(x)dx k(x) + h(y)dy g(y) = 0. )h@ul' : Z f(x)dx k(x) + Z h(y)dy g(y) = c. 5