若首xo或3,使k(xo)=0或9(30)=0,常方程还首特是x=xo,或y=3o. 在微分形式的微分方程中没首规定哪一个是自变量,哪一个是未用函数 因此微分形式的方程的积分曲线是x,y平面上的曲线,它可能不是一个函数 的图像,如上题中的特是x=x0所不是一个都x因自变量的函数,而是一个 都y因自变量的函数.如变量分离方程 两边积分后得到的隐式是是x2+y2=c2>0,它的图像是半径因c>0,圆不在 原点的圆它要用两个显式许值函数来表示:y=±(c2-x2)1/2,x∈[-c,d 2.可化为变量分离的方任 1°我们称可如成形如 dr (1.2.6) 的方程因齐次方任因g因x,y的零次齐次函数而得名,里个齐次方程的对念 与前面线性齐次方程的对念不同,请不要混淆,齐次函数的定义及性质能习题 其中g(u)因a的连要函数.例如方程y=y/x+(y/x)2,y= +y2)dx+(xy-y2)dy=0离是齐次方程最后一个方程当y(y-x)≠0 两与方程,y=(x2+y2)/(y2-xy)是则价的 求是齐次方程的关键是对未用函数值无变量替换,亦即把函数∫的变量 x用一个新的未用函数u式替,所可将(126)化成变量分离方程.于是 (1.27) 设u因x的函数,于是 dy d dr dr (1.26)中然边的v/用式替后不式入(128)的左边即得 g(u)=u+r dr 里是一个变量分离方程,当g(u)-u≠0两,首为是 In(cr), 不量a=y/x可得原方程(12.6)的为是.里两若存在0使得9(u0)-0=0 常还首特是,y=0xx≠0 例1.2.3求是方程@y x0 i y0, Q k(x0) = 0 i g(y0) = 0, v3xyD x = x0, i y = y0. tu6dtuv3I*y66* % &< 6* {"#. 'ctu6dv3@uS: x, y \lfS:< 0OP "# {. qfHID x = x0 $ * x '% &"#, U *  y '% &"#. q &uv3 2xdx + 2ydy = 0 )h@u lM,d x 2+y 2 = c 2 > 0, 0 { qL' c > 0, [ +[. 0o{)*`d>+"#;r y = ±(c 2−x 2 ) 1/2 , x ∈ [−c, c]. 2. xa\]r` 1 ◦ |}`Oqr6q dy dx = g ³y x ´ (1.2.6) v3'yz(' g ' x, y j"#Uli, (*jv3 N)l:;jv3W, 1o-, j"#6;CPH ). XI g(u) ' u no"#. |qv3 y 0 = y/x + (y/x) 2 , y 0 = 2xy x 2 − y 2 , (x 2 + y 2 )dx + (xy − y 2 )dy = 0  jv3.  *v3m y(y − x) 6= 0 )Nv3, y 0 = (x 2 + y 2 )/(y 2 − xy) B. Y jv3c{ {"#+K &|}, ^sj"# f & y/x {*~{"# u d|, $Ob (1.2.6) !r &uv3. \ y = xu, (1.2.7) R u ' x "#, \ dy dx = u + x du dx ; (1.2.8) b (1.2.6) Igh y/x { u d| de (1.2.8) ￾hsl g(u) = u + x du dx ; cpZ du dx = g(u) − u x . ( * &uv3, m g(u) − u 6= 0 )< y' Z du g(u) − u = ln(cx), & u = y/x Ol+v3 (1.2.6) ' . ()@: u0 Ql g(u0)−u0 = 0, xyD , y = u0x x 6= 0. v 1.2.3 Y v3 dy dx = y x + tan y x . 6