解令y=xu,将此及y=+x′代入原方程得 u+ ta u+a 亦即 ru= tan a 当tanu≠0时,可化为关于未知函数siny的线性齐次方程 d sin u 1 由公式(1.25)得 sin u cexp 其中c为任意常数.把t=y/x代入得原方程的通解sin(y/x)=cr,还有特 解y=k丌,k∈Z,x≠0,是由tana=0得到 20如下线性分式方程 a12+b3y+a,吗2+B≠0, +by+C2 (1.2.9) 也可以利用变量替换化成变量分离方程,其中a1,a2,b1,b2,C1,C2均为常数 (i)当e1=e2=0时,将(1.29)右端的分子分母同除以x,即得(1.26) 形式的方程 (i)当a1=a2k,b=b2k时,则(1.2.9)可写成 dy k(a2: z +b29)+ f(a2.+b29); dr 于是令=a2x+b2y之后,原方程(1.2.9)成为 dy + dz=a2 +b2f(u) 在本书中,采用记号“=”和“=”,它们的含义是定义:A:=B表示“定义 然这是一个变量分离方程. 记号A为表达式B”.也可写成B=:A. (ii)当不是上述两种情形时,线性代数方程组 +b1y+c1=0, y tC2 存在唯一解x=a,y=.于是令 y=7+B ly dn a15+ bin d5a25+b27& y = xu, bc y 0 = u + xu0 de+v3l u + tan u = u + xu0 , ^s xu0 = tan u. m tan u 6= 0 ), O!'c\{"# sin y :;jv3 d sin u dx = 1 x sin u, 7d (1.2.5) l sin u = c exp µZ dx x ¶ = cx. XI c 't#. j u = y/x del+v3' sin(y/x) = cx, xyD y = kπx, k ∈ Z, x 6= 0,  tan u = 0 lM. 2 ◦ qw" dy dx = a1x + b1y + c1 a2x + b2y + c2 , a2 2 + b 2 2 6= 0, (1.2.9) eOY{ &|}!r &uv3, XI a1, a2, b1, b2, c1, c2 ]'#. (i) m c1 = c2 = 0 ), b (1.2.9) g
u}u￾Wk x, sl (1.2.6) 6dv3. (ii) m a1 = a2k, b1 = b2k ),  (1.2.9) Oqr dy dx = k(a2x + b2y) + c1 a2x + b2y + c2 =: f(a2x + b2y); \ & u = a2x + b2y R , +v3 (1.2.9) r' du dx = a2 + b2 dy dx = a2 + b2f(u), `g( * &uv3. I, +{Y- “:=”  “=:”, 0}~ 6: A := B r“6 Y- A 'r>d B”. eOqr B =: A. (iii) m f8)iu6), :;d#v3 ½ a1x + b1y + c1 = 0, a2x + b2y + c2 = 0 :  x = α, y = β. \ & x = ξ + α, y = η + β, v3 (1.2.9) r' dy dx = dη dξ = a1ξ + b1η a2ξ + b2η , 7