这就是情况(i 此外,不难证明上述解题方法也适用于比(1.2.9)更一般的如下方程 +by+Cl +by+c2 3°其他情形下列方程的求解留给读者作为练习 f(ax+by+c),令 +by+c yf(ry)dz+ag(y)dy=0, u=ry dy d2=f(xy),令= d saf(y 令u=y/ M(, y(adr +ydy)+ N(a, y)(ady-yd r)=0, 其中M,N为x,y的次数可以不同的齐次函数,利用极坐标变换x=rcos6, y=rsinθ之后进行变量分离求解 例1.2.4求解方程 dy -y+1 dr a+y-3 (1.2.10) 解首先求出线性代数方程组 x-y+1=0, 的解x=1,y=2.然后令x=5+1,y=m+2;将此代入(12.10)得齐次方 dn5-m1-m/5 d5+n1+m/5 (1.2.11) 再令=5u,则(1.2.11)化成 1 1+a 进一步化为 +2 (1+u)5 凑微分得未知函数(2+2u-1)的线性齐次方程 心∴($ uv (i). c, O f8 Hve
{\ (1.2.9) /dqwv3 dy dx = f µ a1x + b1y + c1 a2x + b2y + c2 ¶ . 3 ◦  w!v3Y ' dy dx = f(ax + by + c), & u = ax + by + c; yf(xy)dx + xg(xy)dy = 0, & u = xy; x 2 dy dx = f(xy), & u = xy; dy dx = xf ³ y x 2 ´ , & u = y/x2 ; M(x, y)(xdx + ydy) + N(x, y)(xdy − ydx) = 0, XI M, N ' x, y #OWj"#, Y{23 } x = r cos θ, y = r sin θ R +K &uY . v 1.2.4 Y v3 dy dx = x − y + 1 x + y − 3 . (1.2.10) * yzYZ:;d#v3 ½ x − y + 1 = 0, x + y − 3 = 0 x = 1, y = 2. g & x = ξ + 1, y = η + 2; bcde (1.2.10) ljv 3 dη dξ = ξ − η ξ + η = 1 − η/ξ 1 + η/ξ . (1.2.11) & η = ξu,  (1.2.11) !r u + ξ du dξ = 1 − u 1 + u +t!' du dξ = − u 2 + 2u − 1 (1 + u)ξ ; "tul{"# (u 2 + 2u − 1) :;jv3 d(u 2 + 2u − 1) dξ = −2 u 2 + 2u − 1 ξ , 8