812初等解法 本节将介绍如何将某些几阶方含的解用初等线数或用初等线数的积分来表 示,这种解法称为初等解法.虽然这些方含的类型很有限,但对于实际问题中 出现的常微分方含却经常用验,因此掌握这些类型方含的解法还、有重要的实 价值的 几、分离变量法 1.变量分离方程我们称何写成形如 a2=f(x)9(y) (1.21 的几阶方含为变量分离方程,滑中∫(x)书9(9)分别为x,y的连续线数.例如 方含y=y2cosx,y=er+y,y= 都、变量分二方含 为了刚解(1.2.1),首先假设g(y)≠0,于、(1.2.1)何写成 9(0=f(x)dr, 这时,在方含中每几解项斜含有几解变量,这解不含称为变量“分二”.两边积 分即得隐式通解 g(y) =f(r)dr+c, (1.22) 这里及以后除非特殊情况我们把不定积分∫书Jfdx分别理解为 y书的几解(不带任意常数的)原线数.域们不几定、初等线数,族c、使 得(1.2)有意义的任意常数,例如方含=出工,经分二变量后积分何得 x2=2/sA+c;虽然右端不意用初等线数表示,但我们认为通解已经刚 出通如方含=—,这时(22)为y2=-x2+c,显然这时c斜意取非 负的任意实数.总曲,(1.22)就、(1.2.1)的通解 滑次,如果存在0使得g(3)=0,则经曲接验证即知y=30也、(1.2.1) 的解.这时如果在通解(122)中存在常数c=c0使得域包含了解y=90 则通解(1.2.2)就包含了(1.2.1)的几切解,积则(1.2.1)的解除了通解(1.22) 外,还应加上解v=30 例12.1刚解方含 osx,并刚满足初始条件y(0)=1的解 解显然y=0、几解解,当y≠0时,何分二变量得 dy 2= os dx,(设y≠0)§1.2 %&W' bqb(r v3 {"#i{"#@u;r , (i `' . fg(rv3
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v3 x y?oE FB+. B r\]s 1. \]r |}`Oqr6q dy dx = f(x)g(y) (1.2.1)  v3'\]r, XIf(x)  g(y)u ' x, y no"#. |q v3 y 0 = y 2 cos x, y 0 = ex+y , y 0 = p 1 + y 2 √ 1 − x 2  &uv3. 'MY (1.2.1), yzQR g(y) 6= 0, \ (1.2.1) Oqr dy g(y) = f(x)dx, ()< v3I=* V~y* &< (*23`' &“u”. )h@ usl,d' Z dy g(y) = Z f(x)dx + c, (1.2.2) (( k9DEuv|}j6@u Z dy g(y)  R f(x)dx u 9 ' y  x *(tt#)+"#. 0}6 "#, U c Q l (1.2.2) ytt#. |qv3 dy dx = sin x xy , u & @uOl y 2 = 2 Z sin x x dx + c; fgg
P{"#r, =|}u'' zY Z. -qv3 dy dx = − x y , () (1.2.2) ' y 2 = −x 2 + c, `g() c VP9 ZtE#. R, (1.2.2) $ (1.2.1) ' . X, q: y0 Ql g(y0) = 0, STM s{ y = y0 e (1.2.1) . ()q' (1.2.2) I:# c = c0 Ql0:~M y = y0, ' (1.2.2) $:~M (1.2.1) E , y (1.2.1) kM' (1.2.2) , x f y = y0. v 1.2.1 Y v3 dy dx = y 2 cos x, _Y78!k y(0) = 1 . * `g y = 0 * < m y 6= 0 ), Ou &l dy y 2 = cos xdx, (Ry 6= 0) 4