4.通解、定解问题和特解对于n阶方程(1.1.5)来说,如果在它的解 x=φ(t,C1,…,Cn)中含有n个独立的任意常数c1,…,Cn,则称这个解为 (1.15)的通解 例如dr/dt=2t的通解为x=t2+c,但y=x2+c1+e中的常数c1和 就不是独立的,因为可以将这两个常数相加而成为一个常数.值得注意的是通 解不一定包含了方程所有的解:例如可以验证x=ct-c2是方程x=tx-x 的通解,其中c为任意常数;这个方程还有一个解x=t2/4就不包括在它的通 由于微分方程的通解总含有任意常数,因此为了确定它的某个特定的解,还 必须给出该解所应满足的条件,这种条件就称为定解条件.定解条件由于实际 情况的不同有各种各样,我们在本书中只考虑初始条件,初始条件是指当自变 量在某一给定点时,未知函数以及它的低于方程阶数的导函数在该点应取给定 的数值.对于方程(1.1.5)的初始条件为 C( to=a 0,x(to)=x1 n-1 其中x0,x1,…,xn-1为给定的已知数值.而对于矢量方程(1.1.7)的初始条 件为 这里to为自变量t在其变化区间I中的一个给定点,而co为给定的n维常 我们把微分方程的不含任意常数的解称为该方程的特解 例如可以验证x=c1cost+e2sint是二阶方程x"+x=0的通解.因 此不难求出x”+x=0满足初始条件x(0)=1,x(0)=0的特解为x=cost 二、一阶方程解的几何意义 对于一阶微分方程,习惯上用x,y作为变量,并且常常用x作为自变量 y作为未知函数 1.积分曲线设D为,y平面上的区域,考虑微分方程 =f(x,y),(x,y)∈D. (11.11 设函数y=y(x)为(1.1.11)的一个特解,这函数在x,y平面上的图像是D 中的一条曲线,我们称它为方程(1.1.11)的一条积分曲线.设(11.11)的通解 是,y=g(x,c),当其中任意常数c在某一实数集合中取值时,就得到D中的 积分曲线的集合,我们称它为积分曲线族(1.1.11)满足初始条件y(x0)=90 的特解就是通过点(x0,3)∈D的积分曲线.此外,在(11.11)的积分曲线 上任一点(x,φ(x)处,其切线斜率φ(x)正好等于函数f(x,y)在该点处的 值f(x,φ(x),即y=g(x)满足方程(1.1.11);反之,如果对于D中的任 条光滑曲线y=2(x),在它上面任一点处的切线斜率φ(x)刚好就是函数 ∫(x,y)在该点处的值f(x,p(x),则此曲线就是(1.1.11)的积分曲线4. -* }*$%z.* \ n v3 (1.1.5) ;~, q0 x = ϕ(t, c1, . . . , cn) I~y n */t# c1, . . . , cn, `(* ' (1.1.5) -*. |q dx/dt = 2t ' ' x = t 2+c, = y = x 2+c1+c2 I# c1  c2 $ /, ''Ob()*#,Ur'*#. +lst - *2}&345*`*; |qOM x = ct−c 2 v3 x = tx0 −x 02 ' , XI c 't#; (*v3xy* x = t 2/4 $:;0' I. \tuv3' ~yt#, 'c'MN60(*D6 , x X?Zw $ 78k, (ik$`'}*|@. 6 k\EF uvWyqiqX, |}IVno!k, !k *m% &(6), {"#0S\v3 #s"#w 6 #+. \v3 (1.1.5) !k' x(t0) = x0, x0 (t0) = x1, . . . x(n−1)(t0) = xn−1; XI x0, x1, . . . , xn−1 '6z{#+. U\w&v3 (1.1.7) ! k' x(t0) = x0, (( t0 '% & t X !] I I*6, U x0 '6 n f w&. |}jtuv3~t# `'wv3.*. |qOM x = c1 cost + c2 sin t  v3 x 00 + x = 0 ' . ' cOYZ x 00 + x = 0 78!k x(0) = 1, x 0 (0) = 0 D ' x = cost.  *`OPQ \ tuv3, 0f{ x, y ' &< _0{ x '% &< y '{"#. 1. yR" R D ' x, y \lf]0, notuv3 dy dx = f(x, y), (x, y) ∈ D. (1.1.11) R"# y = ϕ(x) ' (1.1.11) *D , ("# x, y \lf { D IS:, |}`0'v3 (1.1.11) yR". R (1.1.11) ' , y = ϕ(x, c), mXIt# c (E#￾I+), $lM D I @uS:￾, |}`0'yR"U. (1.1.11) 78!k y(x0) = y0 D $ '2 (x0, y0) ∈ D @uS:. c,  (1.1.11) @uS: f (x, ϕ(x)) , XE:V ϕ 0 (x) 1=\"# f(x, y) w + f(x, ϕ(x)), s y = ϕ(x) 78v3 (1.1.11) ; 2R, q\ D I WXS: y = ϕ(x), 0flE:V ϕ 0 (x) Y=$ "# f(x, y) w+ f(x, ϕ(x)), cS:$ (1.1.11) @uS:. 3