记x 可以把n阶方程(1.1.6)作为如下n个未知函数x1,x2, xn的n个一阶方程进行讨论: 1 dt=f(,1,…xn 可以把它作为一个矢量(本书中用粗体字母表示矢量)的微分方程 da dtf(t, a), (1.1.8) 其中x=(x1,,xn),f=(0,,f)均为n维列矢量 2.线性和非线性若n阶微分方程(11.5)中的函数F关于未知函数x, 以及未知函数的导数a,…,drn作为m+1个变量的整体是一次有理整式, 我们就称它为n阶线性方程,它的一般形式是 a0(t)x()+a1(x(n-1)+…+an-1(t)x+an(t)x=f(t),(1.1.9) 其中ao(t)≠0.若f(t)≡0,则称方程(1.19)为线性齐次方程,若f(t)≠0 则称方程(1.1.9)为线性非齐次方程.若a0(t)≠0时,可将上式两边同除以 (t)就得到最高阶导数项的系数是1的标准形式.函数矢量的一阶线性微分 方程的一般形式为 A(t)a+f(t) (1.1.10) 其中x,f均为n维列矢量,而A(t)为n阶方阵(本书中都用这种字体表示矩 阵,粗体字表示矢量) 不是线性的方程就称为非线性方程.例如x=sinx,xx'=t,x'=x2,都 是非线性方程.因为sinx不是x的一次函数;xx′关于未知函数及其导数是 次的,x2关于未知函数是二次的.而x′=t2是线性方程,因为t2是已知 函数,关于未知函数和其导数是一次的 3.微分方程的解如果把已知函数x=y(t)或函数矢量=q(t)及其 导函数代入相应的微分方程,使得该微分方程在函数p()或函数矢量q(t)的 定义区间Ⅰ上成为恒等式,则称这种函数φ(t)或函数矢量φ(t)为微分方程在 区间Ⅰ上的(显式)解.这个区间Ⅰ称为微分方程的解的定义区间.同一个微分 方程可以有不同的解,不同的解的定义区间可以不同 由定义可见解函数的定义区间I的长度一定大于零,不然解函数的导数就 没有意义.定义区间可能是开区间,闭区间,或半开半闭区 若方程的解是由隐函数决定的,则称之为隐式解.若方程的解是由参数形 式表示的,则称之为参数形式解Y x1 = x, Oj n v3 (1.1.6) 'qw n *{"# x1, x2, . . ., xn n * v3+K4    dx1 dt = x2, dx2 dt = x3, . . . dxn−1 dt = xn, dxn dt = f(t, x1, . . . , xn); (1.1.7) Oj0'*w&(I{.?/￾rw&)tuv3: dx dt = f(t, x), (1.1.8) XI x = (x1, . . . , xn) T , f = (0, . . . , f) T ]' n f!w&. 2. "z#" @ n tuv3 (1.1.5) I"# F c\{"# x, {"#s# dx dt , . . ., d nx dt n ' n+1 * &? y9d, |}$`0' n ", 0d6d a0(t)x (n) + a1(t)x (n−1) + · · · + an−1(t)x 0 + an(t)x = f(t), (1.1.9) XI a0(t) 6≡ 0. @ f(t) ≡ 0,`v3 (1.1.9) ':;jv3, @ f(t) 6≡ 0, `v3 (1.1.9) ':;9jv3. @ a0(t) 6= 0 )< Obfd)hWk a0(t) $lM% s# /# 1 306d. "#w& :;tu v3d6d' dx dt = A(t)x + f(t), (1.1.10) XI x, f ]' n f!w&, U A(t) ' n v% (I{(i/?rk %, .?/rw&).  :;v3$`'#". |q x 0 = sin x, xx0 = t, x 0 = x 2 ,  9:;v3. '' sin x  x "#; xx0 c\{"#Xs# < x 2 c\{"# . U x 0 = t 2 :;v3< '' t 2 z{ "#< c\{"#Xs# . 3. `* qjz{"# x = ϕ(t) i"#w& x = ϕ(t) X s"#de, tuv3, Qlwtuv3"# ϕ(t) i"#w& ϕ(t) 6] I fr'd, `(i"# ϕ(t) i"#w& ϕ(t) 'tuv3 ] I f(`d) . (*] I `'tuv3 6]. W*tu v3OyW , W 6]OW. 6OP "#6] I 06#\, g "#s#$ *yt. 6]OP ], ], iq q]. @v3 ,"#M6, `R',d . @v3 F#6 dr, `R'F#6d . 2