第一章基本概念和初等解法 1.1高阶方程的定析非念 基本概念 1.常微分方程所谓常微分方程就是一个或几个联系着一个自变量、未 知函数与它们的微分或未知函数的导数之间关系的等式 以下就是一些常微分方程的例子 x2+1, (1.11 sint 2 rdx+ tdt=0 1.1.4 其中(1.1.1)不显含自变量t,(11.2)不显含未知函数x,(1.13)不显含自 变量t和未知函数x.(11.4)是常微分方程的微分形式,其中变量t和x没有 指定自变量和因变量,它描述了这两个变量之间的关系,这个关系不一定是单 值的函数关系 本指导书中在不会混淆时简称“常微分方程”为“微分方程”甚至简称为“方 在微分方程中,必定含有未知函数的导数,其中出现的最高阶数就称为该 微分方程的阶数;微分方程中可以不显含自变量或未知函数本身. 般n阶常微分方程可写成如下隐方程形式 F(t,, at d'r dtn (1.1.5) 其中F是其变元的已知函数 但在实际常常讨论最高阶导数已解出的标准形式 f(t, (1.1.6) 即方程的左边是未知函数的最高阶导数(m阶导数),而方程的右边为自变量 未知函数和未知函数低于n阶的导数的已知函数ABC )*+,-./01 §1.1 8!"#$  R￾
1. 2 $%2{"_\] I#F`{ I#`#Jw"`. w$ rtuv3|} dx dt = x 2 + 1, (1.1.1) d 2x dt 2 = sin t, (1.1.2) d 2x dt 2 = 1, (1.1.3) xdx + tdt = 0, (1.1.4) XI (1.1.1) `~% & t, (1.1.2) `~{"# x, (1.1.3) `~% & t {"# x. (1.1.4) tuv3tu6d, XI & t  x *y *6% &' &< 078M()* &Rc/< (*c/6 > +"#c/. *sI -)m`“tuv3”'“tuv3”#im`'“v 3”. tuv3I, X6~y{"#s#, XIZ<% #$`'w `#; tuv3IO`~% &i{"#%. d n tuv3Oqrqw,v36d F(t, x, dx dt , . . . , d nx dt n ) = 0; (1.1.5) XI F X gz{"#. =EF4% s#z Z} d nx dt n = f(t, x, dx dt , . . . , d n−1x dt n−1 ), (1.1.6) sv3￾h {"#% s# (n s#), Uv3gh'% &B {"#{"#S\ n s#z{"#. 1