5. 高阶微分方程的降阶法 方程的 引入y的形式 降阶后的方程 形式 y"=f(x,y) 设y=px,y=p'() p(x)=f(x,p(x)) 设 y'=p(y), 则 dp y"=f(y,y) p ay =f(y,p) y"= dy'dp dy dp D dx dy dx dy y(m)f(x) 对方程ym=f)两边逐次积分n次，即可得到该 方程的通解 二、主要解题方法 1.一阶微分方程的解法 例1求微分方程dy+dr=y2dr+dy满足条件=o=2的特解。 解这是可以分离变量的微分方程，将方程分离变量，有 两边积分，得∫w=∫， 求积分得22-=r-+C,1p2-=nr-2+2C, y2-=(x-102e26,y2-1=e2c(x-102,8 5. 高阶微分方程的降阶法 方程的 形式 引入 y的形式 降阶后的方程 y  f (x, y) 设 y  p(x), y  p(x) p(x)  f (x, p(x)) y  f ( y, y) 设 y  p( y), 则 y p p x y y p x y y d d d d d d d d      ( , ) d d f y p y p p  ( ) ( ) y f x n  对方程 ( ) ( ) y f x n  两边逐次积分n次，即可得到该 方程的通解 二、主要解题方法 1．一阶微分方程的解法 例 1 求微分方程 xydy dx y dx ydy 2    满足条件 2 y x0  的特解. 解 这是可以分离变量的微分方程，将方程分离变量，有 x x y y y d 1 1 d 1 2    ， 两边积分，得    y y y d 1 2   x x d 1 1 ， 求积分得 1 2 ln 1 ln 1 2 1 y   x   C ， 1 2 2 ln y 1  ln(x 1)  2C ， 1 2 2 2 1 ( 1) e C y   x  ， 2 2 2 1 e ( 1) 1 y    x  C