记±e26=C≠0，得方程的解y2-1=C(x-1)2. 可以验证C=0时，y=±1，它们也是原方程的解，因此，式 y2-1=c(x-)2中的c可以为任意常数，所以原方程的通解为 2-1=Cx-1)2(c为任意常数). 代入初始条件x0=2得C=3,所以特解为y2-1-3x-1)2. 例2求微分方程(1)y=y,(2)y-2xy=ecosx的通解. y+r y (1)解一 原方程可化为少=x,令“=上， dx y+1 u+xdu=u 则 du+，即 u=dr 4+1 ，两边取积分 分+=-， 积分得上-lnu=nx-lnc,将u=y代入原方程，整理得原方程的通解为 y=Ce(c为任意常数). 解二原方程可化为血-Ix=1为一阶线性微分方程，用常数变 dy v 易法.解原方程所对应的齐次方程-上x=0,得其通解为x=cy. dy y 设x=C)y为原方程的解，代入原方程，化简得C'y=1, C)-ine 所以原方程的通解为， 即y=CeF(c为任意常数). (2)解一原方程对应的齐次方程 -2y=0分离变量，得 dx dy=2xy, dx dy=2xd水， y 99 记 e 0 1 2   C  C ，得方程的解 2 2 y 1  C(x 1) . 可以验证 C  0 时， y  1 ，它们也是原方程的解，因此，式 2 2 y 1  C(x 1) 中的 C 可以为任意常数，所以原方程的通解为 2 2 y 1  C(x 1) （C 为任意常数）. 代入初始条件 2 y x0  得 C  3，所以特解为 2 2 y 1  3(x 1) . 例 2 求微分方程（1） y x y y    ，（2） y xy x x 2 e cos 2    的通解. （1）解一 原方程可化为 1 d d   x y x y x y ，令 x y u  ， 则 d 1 d    u u x u u x ， 即 x x u u u d d 1 2    ， 两 边 取 积 分      x x u u u d 1 )d 1 1 ( 2 ， 积分得 u x C u ln ln ln 1    ，将 x y u  代入原方程，整理得原方程的通解为 y x y  Ce （C 为任意常数）. 解二 原方程可化为 1 1 d d  x  y y x 为一阶线性微分方程，用常数变 易法.解原方程所对应的齐次方程 0 1 d d  x  y y x ，得其通解为 x  C y . 设 x  C( y) y 为原方程的解，代入原方程，化简得 C( y) y  1 ， 1 ( ) ln C y C y  ， 所以原方程的通解为 1 ln C y y x  ，即 y x y  Ce （C 为任意常数）. （2）解一 原方程对应的齐次方程 2 0 d d  xy  x y 分离变量，得 xy x y 2 d d  ， x x y y 2 d d 