木艾迪www.tsinghuatutor.com电话:010-6270105582378805地址:清华同方科技广场B座609室 (1)l1+l2+…+ln+…,其中ln为任意实数 (2)4|+al+1+…+nl+… 如果(2)收敛,则(1)肯定收敛,且称为绝对收敛级数: 如果(2)发散,而(1)收敛,则称(1)为条件收敛级数。 调和级数∑上发散,而∑收级数∑收敛P级数∑1/51时发散 P>1时收敛 幂级数: <时,收敛于 ≥时,发散 对于级数(3)a0+a1x+a2x2+…+anx"+…,如果它不是仅在原点收敛,也不是在全数轴上都收 <R时收敛 敛,则必存在R,使|>R时发散,其中尺称为收效半径 =R时不定 求收敛半径的方法:1imam出=p,其中an,an+1是(3)的系数,则 ≠0时,R=1 p=0时,R=+∞ 函数展开成幂级数: 函数展开成泰勒级数 (x)=(xx-x)+(xx-x)2++((x-x)y+ 余项:R= ∫m"(5), (n+1)! (x-x0)”,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是: lim r x=0时,即为麦克劳林公式:f(x)=f(0)+r(o)x+(0)x2+…+(x+ 一些函数展开成幂级数: ∈(- (-1) x∈(-∞+∞), h+x)=(-) x∈(-1, +xy=∑a(a-p)(a-n+x 其中,当a≤-1时,x∈(-1,1):当-1<a<0时,x∈(-1]:当a>0时,x∈[-1, 特别,当=-1时,有1--x,x∈(CD, 欧拉公式 28水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 （1） 21 uuu n ++++ LL ，其中un 为任意实数； （2） 321 uuuu n +++++ LL 如果（2）收敛，则（1）肯定收敛，且称为绝对收敛级数； 如果（2）发散，而（1）收敛，则称（1）为条件收敛级数。 调和级数 ∑ n 1 发散，而 ∑ − n n )1( 收敛，级数： ∑ 2 1 n 收敛； p 级数：∑ > ≤ 时收敛 ｐ １时发散 1 1 n p p 幂级数： ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ − < ++++++ 时，发散 时，收敛于 1 1 1 1 1 32 x x x xxxx n LL 对于级数（3） ，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全数轴上都收 敛，则必存在 210 2 L n xaxaxaa n +++++ L R ，使 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = > < 时不定 时发散 时收敛 Rx Rx Rx ，其中 R 称为收敛半径。 求收敛半径的方法：设 = ρ + ∞→ n n n a a 1 lim ，其中 是（ ，aa nn +1 3）的系数，则 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =+∞= +∞== =≠ 0 0 1 0 R R R 时， 时， 时， ρ ρ ρ ρ 函数展开成幂级数： 函数展开成泰勒级数： L++− +− L ′′ = +− n n xx n xf xx xf xxxfxf )( ! )( )( !2 )( ))((')( 0 0 )( 2 0 0 0 0 余项： )(,)( )!1( )( 1 0 )1( xfxx n f R n n n + + − + = ξ 可以展开成泰勒级数的充要条件是： = 0lim∞→ n n R x0 = 0 时，即为麦克劳林公式： L++ +L ′′ += ′ + n n x n f x f xffxf ! )0( !2 )0( )0()0()( )( 2 一些函数展开成幂级数： ∑ ∞ = = 0 ! 1 n x n x n e ， x −∞∈ +∞),( ， ∑ ∞ = − = 0 2 )!2( )1( cos n n n x n x ， x∈ −∞+∞),( ， ∑ ∞ = + + − = 0 12 )!12( )1( sin n n n x n x ， x +∞−∞∈ ),( ， ]1,1( )1( )1ln( 1 1 ∑ −∈ − =+ ∞ = − xx n x n n n ， ， ∑ ∞ = +−− =+ 0 ! )1()1( )1( n n x n n x α L ααα ， 其中，当α −≤ 1 时， x −∈ )1,1( ；当 − < α < 01 时， x ∈ − ]1,1( ；当α > 0 时， x −∈ ]1,1[ 。 特别，当α −= 1时，有 ∑ ∞ = −= + 0 )1( 1 1 n nn x x ， x ∈ − )1,1( 。 欧拉公式： 28