水木艾迪www.tsinghuatutorcom电话:010-627010558237805地址:清华同方科技广场B座609室 ++Mh=2b+Q在+=手Pa+wB+Ry 高斯公式的物理意义——通量与散度 散度:divp=mP+QBR 即:单位体积内所产生的流体质量,若divv<0,则为消失的 Ox av 0z 流体质量 通量:nd=4= j(Pcos+eosp+ Rosy)ds 因此,高斯公式又可写成: divad=手4ds 斯托克斯公式—曲线积分与曲面积分的关系 -地+(-A)kh+(92-dh=Pa+h+Rh 上式左端又可写成:1dhr OSa COS cOS aa alarr aa a ax ay a P Q R P Q R 空间曲线积分与路径无关的条件:aR_aQP,P旋 向量A沿有向闭曲线F的环流量:Pax+Qhy+Rd= 6A.ids 常数项级数 等比数列:1+q+q+…+q 等差数列:1+2+3+…+n (n+1)n 调和级数:1+-+- 是发散的 级数审敛法 1.正向级数的审敛法——根植审敛法(柯西判别法):2.比值审敛法: 设p=1mm,则 p<时,级数收敛 p>l时,级数发散 设:P=lim 则/时,级数收敛 「p=时,不确定 p=时,不确定 3.定义法 Sn=l1+2+…+ln; lim s存在,则收敛,否则发散。 交错级数1-l2+a3-l4+…(或-1+2-l2+…n>0)的审敛法—莱布尼兹定理 ln≥ln+1 如果交错级数满足 lim u.=0·那么级数收敛且其和s≤a1,其余项n的绝对 值 绝对收敛与条件收做水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 ∫∫∫ ∫∫ ∫∫ Ω ∑ ∑ =++= ++ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ dv Pdydz Qdzdx Rdxdy dsRQP z R y Q x P ( ) cos( cos γβα )cos 高斯公式的物理意义——通量与散度： 散度： z R y Q x P ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ν =v div 即：单位体积内所产生的流体质量，若 ν < 0div v ，则为消失的 流体质量 通量： n ==⋅ cos( cos ++ γβα )cos dsRQPdsAdsnA ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∑ ∑ ∑ v v 因此，高斯公式又可写成： ∫∫∫ ∫∫ Ω ∑ = ndsAdvAv div 斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系： ∫∫ ∫ ∑ Γ ++= ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ dxdy RdzQdyPdx y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R )()()( 上式左端又可写成：∫∫ ∫∫ ∑ ∑ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ RQP zyx RQP zyx dxdydzdxdydz coscoscos γβα 空间曲线积分与路径无关的条件： y P x Q x R z P z Q y R ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ， ， 旋度： RQP zyx A ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = kji rot v 向量 沿有向闭曲线 A v Γ 的环流量： ∫ ∫ Γ Γ ⋅=++ dstARdzQdyPdx v v 常数项级数： 等比数列： q q qqq n n − − =++++ − 1 1 1 2 L 1 等差数列： 2 )1( 321 nn n + L =++++ 调和级数： n 1 3 1 2 1 1 L++++ 是发散的 级数审敛法： 1.正向级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）： 2.比值审敛法： 设 n n n U U 1 lim + ∞→ ρ = ，则 设： ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = > < 时，不确定 时，级数发散 时，级数收敛 1 1 1 ρ ρ ρ n n n u ∞→ ρ = lim ，则 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = > < 时，不确定 时，级数发散 时，级数收敛 1 1 1 ρ ρ ρ 3.定义法： n n n n suuus ∞→ +++= lim; 21 L 存在，则收敛，否则发散。 交错级数 ( )0, +− − uuuu 4321 L 或−+ + − 321 +L uuuu n > 的审敛法——莱布尼兹定理； 如果交错级数满足 ，那么级数收敛且其和 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≥ ∞→ + 0lim 1 n n nn u uu 1 ≤ us ，其余项 的绝对值 nr ≤ ur nn +1。 绝对收敛与条件收敛： 27