木艾迪www.tsinghuatutor.com电话:010-6270105582378805地址:清华同方科技广场B座609室 x=(1) L 的 方 为 y=v(1) P(x, y)dx+O(x, y)dy=(P[o(o),(ol(+O[o(o), (Oly(ojdt 两类曲线积分之间的关系:其中以和B分别为L上积分起止点处切向量的方向角 Pdx+@dy=(Pcosa+g cos B)ds 格林公式 dd=Pax+小y P=-y,Q 2时,得到D的面积:4=!d=元xd-yh ax ay 平面上曲线积分与路径无关的条件 1G是一个单连通区域: a0 aP 2.P(x,y),Qx,y)在G内具有一阶偏导数,且 注意奇点,如(0,0)应减去对此奇点的 积分,注意方向相反! 二元函数的全微分求积 aP 时,Px+Qd才是二元函数l(x,y)的全微分,其中: ay l(xy)=.、P(x,y)dx+Q(x,y)dy,通常设x=y=0 曲面积分 对面积的曲面积分 (xy,Ab=nxy,x(xy小+:(x,y)+3(xy 对坐标的曲面积分:P(x,y,2)d+Q(x,y,)ddx+R(x,y,-)d,其中 R(x,y,)dd=±fx,y,x(x,y),取曲面的上侧时取正号 ∫P(x,y)=px.y.1d,取曲面的前侧时取正号 (x,y.1dk=土x,y(x)1dk,取曲面的右侧时取正号 两类曲面积分之间的关系: [ Pdyd=+@ddx+ Rdxdy=[(P cosa+@ cos B+Cosy)d 高斯公式水木艾迪 www.tsinghuatutor.com 电话：010-62701055/82378805 地址：清华同方科技广场 B 座 609 室 L 的参数方程为： , 则 )( )( ⎩ ⎨ ⎧ = = ty tx ψ ϕ ∫ ∫ + = ′ + ′ L dttttQtttPdyyxQdxyxP β α ψψϕϕψϕ )}()](),([)()](),([{),(),( 两类曲线积分之间的关系：其中α 和 β 分别为 L 上积分起止点处切向量的方向角。 ∫ ∫ =+ + L L cos( βα )cos dsQPQdyPdx 格林公式： ∫∫ ∫ += ∂ ∂ − ∂ ∂ D L dxdy QdyPdx y P x Q )( 当 , =−= xQyP ，即： = 2 ∂ ∂ − ∂ ∂ y P x Q 时，得到 的面积： D ∫∫ ∫ −== D L dxdyA ydxxdy 2 1 平面上曲线积分与路径无关的条件： 1.G 是一个单连通区域； 2. ， yxQyxP ),(),( 在 G 内具有一阶偏导数，且 y P x Q ∂ ∂ ∂ ∂ ＝ 。注意奇点，如 ( ，00 )应减去对此奇点的 积分，注意方向相反！ 二元函数的全微分求积： 在 y P x Q ∂ ∂ ∂ ∂ ＝ 时， + QdyPdx 才是二元函数 的全微分，其中： yxu ),( ∫ = + ),( ),( 00 ),(),(),( yx yx dyyxQdxyxPyxu ，通常设 = yx 00 = 0 。 曲面积分： 对面积的曲面积分： ∫∫ ∫∫ ∑ = ++ Dxy x y ),(),(1)],(,,[),,( dxdyyxzyxzyxzyxfdszyxf 2 2 对坐标的曲面积分： ∫∫ ，其中 ∑ + + ),,(),,(),,( dxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP ∫∫ ∫∫ ， ∑ ±= Dxy ),,( dxdyzyxR )],(,,[ dxdyyxzyxR 取曲面的上侧时取正号； ∫∫ ∫∫ ∑ ±= Dyz ),,( dydzzyxP ],),,([ dydzzyzyxP ，取曲面的前侧时取正号； ∫∫ ∫∫ ∑ ±= Dzx ),,( dzdxzyxQ ]),,(,[ dzdxzxzyxQ ，取曲面的右侧时取正号； 两类曲面积分之间的关系： ∫∫ ∫∫ ∑ ∑ Pdydz Qdzdx Rdxdy =++ cos( cos ++ γβα )cos dsRQP 高斯公式： 26