第四章函数的连续性 证:(1)若f在x0连续,则1f|与严也在x0连续 (1)1∫|在x0连续事实上,由于∫(x)在x0连续,从而对任给 正数e,存在正数8当|x-x01<8时,有|f(x)-f(x0)<e,而 !f(x)|-|f(xo)l≤1f(x)-f(xo)|故当|x-x01<b时 f(x)|-1f(xo)l<e,因此lf(x)|在xo连续 ()严在x连续事实上,由于f(x)在xo连续,从而由局部有 界性知:存在M>0及81>0使当|x-x01<81时,有 f(x)<2①,由连续的定义知:对任给正数e,存在正数82 当|x-x0<a2时,有1f(x)-f(x)<M②现 6=min{1,2},则当1x-x01<δ时,①与②同时成立,因此 1f2(x)-f(xo)l=lf(x)-f(xo)|·lf(x)+f(x0) <I f(r)-f(co)I(I f(x)1+l f(ro)1)<e 故产2在x0连续 (2)逆命题不成立,例如设f(x)= 1,x为有理数 1,x为无理数 则f1,严均为常函数故是连续函数但f(x)在(-∞,+∞)中 的任一点都不连续 5设当x≠0时f(x)≡g(x),而f(0)≠g(0)证明:f与g两 者中至多一个在x=0连续 证:(反证)假设f(x)与g(x)均在x=0连续,则 imf(x)=f(0),ling(x)=g(0)又因x≠0时,f(x)≡g(x) 于是limf(x)=limg(x)从而f(0)=g(0),这与f(0)≠g(0)相矛 盾故∫与g至多有一个在x=0处连续 6设f为区间I上的单调函数证明:若x0∈I为f的间断点,则 x0必是f的第一类间断点 证不妨设∫为区间Ⅰ上的递增函数于是当x∈I且x<x0时, f(x)<∫(x0).从而由函数极限的单调有界定理可知:f(x0-0)存