1连续性概念 在且f(x0-0)=limf(x)≤f(xo) 同理可证f(x0+0)存在且f(x0+0)=limf(x)≥f(xo) 因此,x0是∫(x)的第一类间断点 7.设函数∫只有可去间断点,定义g(x)=lm(y)证明g为连 续函数 证设∫的定义域为区间I,则g(x)在I上处处有定义(因∫只 有可去间断点,从而极限处处存在)任取x0∈I,下证g(x)在x0连 续由于g(x0)=limf(y)且g(x)=limf(y)(x∈I),从而对任给正 数e,存在正数8,当0<1y-x01<8时,有 :(zo)-2<f(y)<g(zo)+2 任取x∈U"(x0,8),则必存在U(x,)CU"(xo6)于是当 y∈U(x,n)时,(1)成立.由极限的不等式性质知 g(x0)-号≤g(x)=lm(y)≤g(x0)+5 因此当x∈U(x0,8)时,有1g(x)-g(x0)1<e故g(x)在x0处 连续 8.设f为R上的单调函数,定义g(x)=f(x+0),证明g在R上 每一点都右连续 证由于∫为(-∞,+∞)上单调函数,故∫只有第一类间断点 故右极限处处存在于是g(x)处处有定义,任取x0∈(-∞,+∞) 下证g在x0右连续.由于g(x0)=f(xo+0)=limf(y) 且g(x)=limf(y)(-∞<x<∞),从而对任给正数ε, 存在正数8,当0<x-x0<δ时,有 g(x0)-2<f(y)<E(x)+2(1) 任取x∈U°(x0,8),则必存在U+(x,y)CU+(x0,δ).于是