2008年全国研究生统一考试代数部分试题 解:由A=0,A有特征值为0,又A的特 征值互不相同,另外两个特征值都非零,且 A和对角矩阵相似,对角矩阵的元素为A的 特征值,A的秩等于对角矩阵的秩,故A的 秩为2 (I)解答题 数学一(20)(本题满分11分) 设A=aa+BB,其中a为a的转置, B为β的转置 证r(A)≤2; 若a,B线性相关,则r(A)<2 证法1:1.r(aa1)≤r(a)≤1, 同理,r(BB)≤1,2008 年全国研究生统一考试代数部分试题 6 解：由 A = 0， 有特征值为 0，又 的特 征值互不相同，另外两个特征值都非零，且 和对角矩阵相似，对角矩阵的元素为 的 特征值， 的秩等于对角矩阵的秩，故 的 秩为 2． A A A A A A （III）解答题 数学一（20）（本题满分 11 分） 设 T A T = αα + ββ ，其中 T α 为α 的转置， T β 为β 的转置. I．证r A( ) ≤ 2； II．若α,β 线性相关，则r A( ) < 2． 证法１：I． ( ) ( ) 1 T r αα ≤ r α ≤ ， 同理， ( ) 1 T r ββ ≤