(数学分析》下册 第十七章多元函数的微分学 海南大学数学系 必要寻找其它计算“所元函数的导数”的方法。为简单计，只解下述情形： [=f(x,y) x=x(s,） 其中x,y定义在R的某个开集E内，并且x,的值域在D内 y=1(s,1.u) 定义在R的某个开集D内。 （二)、关于复合函数：=f(x(s,t,w,y(s,t》关于s,1,u的偏导数有下列结果： 定理1（链式法则）设f在点(x,%)eD可微， x。=x(3,o,4）%=ys0,l0,4)。 又x和y都在点(S,4)eE关于s,1,u的偏导数存在，则在点(s,)有 匹-正+.，-.+西.立正-正.r+正.立y as dx as dy as'or ax at dy d'au ax au dy au 注：(1)几种特殊情形：定理1显然讲的是2个中间变量，3个自变量 的情形，但其思想方法完全适用与其它情形： 1)设4=fx,y,)x=x(s,),y=s,),:=(s,).则 ++光岩贵鲁g是 2)设4，xy:可微，u=f化以x=x0,y=0则0-业京+2 at ax at dy ot 3)设4=f(xy,),x=x(s,),y=(s,)则 ++器 例1设：=f(u,v)在R内有关于和v的二阶连续偏导数，又设 =子求会等 (2)计算复合函数的两阶偏导数，只要重复运用链式法则即可。如在例1 中装等高@有，为街上方记 2 《数学分析》下册 第十七章 多元函数的微分学 海南大学数学系 2 必要寻找其它计算“所元函数的导数”的方法。为简单计，只解下述情形： ( , ) ( , , ) ( , , ) z f x y x x s t u y y s t u  =   =   = 定义在 的某个开集 内。 其中 定义在 的某个开集 内，并且 的值域在 内， z R D x y R E x y D 2 3 , , （二）、关于复合函数 z f x s t u y s t u = ( ( , , ), ( , , )) 关于 s t u , , 的偏导数有下列结果: 定理 1 （链式法则）设 f 在点 0 0 （ ） x y D ,  可微， 0 0 0 0 0 0 0 0 x x s t u y y s t u = = ( , , ), ( , , ) 。 又 x 和 y 都在点 0 0 0 ( , , ) s t u E  关于 s t u , , 的偏导数存在，则在点 0 0 0 ( , , ) s t u 有 ; ; . z z x z y z z x z y z z x z y s x s y s t x t y t u x u y u                =  +  =  +  =  +                 注：(1) 几种特殊情形：定理 1 显然讲的是 2 个中间变量，3 个自变量 的情形，但其思想方法完全适用与其它情形： 1）设 u f x y z x x s t y y s t z z s t = = = = ( , , ), ( , ), ( , ), ( , ). 则 ; u u x u y u z u u x u y u z s x s y s z s t x t y t z t               =  +  +  =  +  +                2）设 u, x, y,z 可微， u f x y x x t y y t = = = ( , ), ( ), ( ). 则 u u x u y t x t y t      =  +       3）设 u f x y t x x s t y y s t = = = ( , , ), ( , ), ( , ). 则 u u x u y u zt s x s y s t s u u x u y u t t x t y t t t        =  +  +                =  +  +         例 1 设z = f (u,v)在R 2内有关于u和v的二阶连续偏导数， 又设 x y u = x y,v = 2 。求 。 y z x z     , （2） 计算复合函数的两阶偏导数，只要重复运用链式法则即可。如在例 1 中，求 。 x y z y z x z        2 2 2 2 2 , , （3） 有时，为书写上方便，记