《数学分析》下册 第十七章多元函数的微分学 海南大学数学系 5'斗，即ruy关于第一个变量的偏导数 后-品-·那么上面可写为 af or2 ,=2听-卡，=f+ n=4xy-号+5+2+号6 例2路可度=求会会 例价可成九-袋等高 (4)链式法则中的条件是充分的，并非必要的。在使用链式法则时，要注 意的可微性条件，如果满足这一条件，链式法则不一定成立。 例： x'y 2=f(x,y)={x2+y ,(x,y≠(0,0) o. (x,y=(0,0) [f(0,0)=f0.0)=0 fx,y)在(0,0)不可微 但若用链式法则会lw-会ln会+年含l=0x1+0x1=0 二、一阶微分形式不变性 一阶微分有个很重要性质一一形式不变性。在多元函数中也有类似的性 质。 设：=f(x,y)是二元可微函数，如果x,y是自变量，则： 止会+ (dk各自独立数值).()《数学分析》下册 第十七章 多元函数的微分学 海南大学数学系 3 ( , ) ; ' 1 ，即f u v 关于第一个变量u的偏导数 u f f   = ( , ) ; ' 2 ，即f u v 关于第一个变量v的偏导数 v f f   = 2 2 ' 22 2 ' 2 12 ' 11 , v f f u v f f u f f   =    =   = ， 。那么上面可写为： ' ' 2 ' ' 1 2 1 2 2 2 2 2 2 '' '' '' ' ' 11 12 22 1 2 4 3 1 2 ; ; 4 4 2 x y xx y z xyf f z x f f x x y y y z x y f f f yf f x x x = − = + = − + + + 例 2 2 2 ( , ), , dx dz dx dz f z f x e 设 二阶可微， = x 求 例 3 ( 2 ), , , . 2 2 2 2 2 2 x y z y z x d z f z f x y        设 二阶可微， = − 求 （4）链式法则中的条件是充分的，并非必要的。在使用链式法则时，要注 意 f 的可微性条件，如果满足这一条件，链式法则不一定成立。 例：    = =       = = = + ( , )在(0,0)不可微。 (0,0) (0,0) 0 ,( , (0,0)) 0, ( , (0,0)) ( , ) 2 2 2 f x y f f x y x y x y x y z f x y x y 0 (0,0) 0 (0,0) 0 1 , ( , ) . 2 2 0 1 0 1 0. t t t t dz x y t z f t t dt z z x z y x x t y t = = = = = = =  =      =  + =  +  =      若令 则： 但若用链式法则： 二、 一阶微分形式不变性 一阶微分有个很重要性质——形式不变性。在多元函数中也有类似的性 质。 设 z = f (x, y) 是二元可微函数，如果 x, y 是自变量，则： dy. y z dx x z dz   +   = （ dx,dy 各自独立数值） (1)