L的方向余弦为cosa=4=V2x-X,cosB=sina=V-cos2a=1-x, ds 所以JP(x,y+Ox,y=P(x,yW2x-+O(x,yI-)d 7.设厂为曲线x=ky=户、z=t上相应于1从0变到1的曲线弧.把坐标的曲线积分 ∫Pd+Qd+R正化成对弧长的曲线积分. 解由x=t,y=12,z=t得d=dl,dy=21dl=2xd,d止=31d=3vdh, ds=Vd)2+(d)}2+(d)}2=1+(2x2+(3y2d=V1+4x2+9yd L的方向余弦为c0sa=瓜- dscos 1 2x ds 1+4x+9 cosy=」 3y 二1 ds 1+4xr2+9y2 因此 S Pdx+Ody+Rd== P+2x0+3yR ds。 V1+4x2+9y2 y2.z2 .设质点从原点沿直线运动到椭球面怎+长+三=1上的点M(于，X,行多 (x>0,y>0,3,>0),求在此运动过程中力F=yzi+2y+k所做的功W,并确定M 使W取最大值， 解原点到点M(x,,)的直线方程为：x=x4,y=4,z=t,t从0变到1，力 F=yzi+zy+x)k沿直线T所做的功为 W=f ydx+zxdy+xyd=3xfdi=xy 求最大功的问题实为求w=2在条件+上。 +6+。=1下的极值问题。 作拉格朗日函数F(x,y,,)=灯z+ +小 99 L 的方向余弦为 2 cos 2 dx x x ds     ， 2 cos sin 1 cos 1         x ， 所以 2 ( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , )(1 ) L L P x y dx Q x y dy P x y x x Q x y x ds            7．设  为曲线 2 3 x t y t z t    、 、 上相应于 t 从 0 变到 1 的曲线弧．把坐标的曲线积分 Pdx Qdy Rdz    化成对弧长的曲线积分． 解 由 2 3 x t y t z t    , , 得 2 dx dt dy tdt xdt dz t dt ydt      , 2 2 3 3 , ，         2 2 2 2 2 2 2 ds dx dy dy x y dt x y dt          1 2 (3 ) 1 4 9 L 的 方 向 余 弦 为 2 2 1 cos 1 4 9 dx ds x y      ， 2 2 2 cos 1 4 9 dy x ds x y      ， 2 2 3 cos 1 4 9 dz y ds x y      ， 因此 2 2 2 3 1 4 9 P xQ yR Pdx Qdy Rdz ds x y            。 8 ． 设 质 点 从 原 点 沿 直 线 运 动 到 椭 球 面 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c    上的点 1 1 1 M x y z ( , , ) 处 1 1 1 ( 0, 0, 0), x y z    求在此运动过程中力 F i j k    yz zx xy 所做的功 W, 并确定 M 使 W 取最大值. 解 原点到点 1 1 1 M x y z ( , , ) 的直线方程为： 1 1 1 x x t y y t z z t    , , ， t 从 0 变到 1，力 F i j k    yz zx xy 沿直线  所做的功为 1 2 1 1 1 1 1 1 0 W yzdx zxdy xydz x y z t dt x y z 3         ， 求最大功的问题实为求 w xyz  在条件 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c    下的极值问题。 作拉格朗日函数 F x y z xyz ( , , , )    2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c          