1958年,安德森首先硏究了无规势场中电子的运动,发现无规势足够强时,电子波 发生定域化,下面简单介绍安德森建立的电子在无序固体中运动的量子理论,采用的是 单电子紧束缚近似模型,首先用二次量子化在瓦尼尔( Wannier)表象中写出电子的哈 密顿量。 H=∑ECC+∑TCC (104) 其中E是格点处局域电子的能量,在±一间无规取值,T是格点和格点之间原子波函 数的交迭积分,C;和C分别表示一个电子在格点的产生算符和湮灭算符。 在安德森模型中,考虑到一般无序固体里邻近格点的距离大致相等,故假定所有的 4都是相等的,即=;然而E是从宽度为W的能量分布中随机选取的,如图10.12所示 W2≤E:≤W2。因为无序出现在对角矩阵之中,故该模型又被称为对角无序模型。 要作进一步的处理就要知道能量的概率分布。为了数学上的方便,这里选取均匀分 P(e) (10.5) 采用紧束缚方法展开波函数 (10.6) 式中是以格点/为中心的原子轨道波函数,如果v是满足Hv=Ev的本征函数, 那么,关于波幅a的矩阵方程可以写为 Ea=Ea1+∑ta (107) 由式(107)可以得出定态解。对于a的一般情况,运动依赖于时间的一般方程为 L=Ea+>ta (10.8) 就可以给出定域的定义。假定在t=0时刻一个电子位于格点上,则初始条件为a(=0=1, 而i≠的a(=0=0,求解含时薛定谔方程(10.8)式可得知t→∞时的a(t)的值。如果a(t→ =0,表明电子离开了格点在系统中运动,或者说电子已经被“扩散掉”了,即是说, 电子处于扩展态。如果a(→∞)是一个有限值,表明电子处在格点的周围区域里,或者 说电子没有被扩散掉,而仅仅扩散到有限领域,因此我们说,电子处于定域态。 为了进一步简化,我们采用最近邻近似,即假设格点i被安排在规则的点阵上,而 且除最近邻以外的交迭积分都为0。(10.7)式改写为 Ea=Ea1+∑a1958 年，安德森首先研究了无规势场中电子的运动，发现无规势足够强时，电子波 发生定域化，下面简单介绍安德森建立的电子在无序固体中运动的量子理论，采用的是 单电子紧束缚近似模型，首先用二次量子化在瓦尼尔（Wannier）表象中写出电子的哈 密顿量。 ∑ ∑≠ + + = + ji jiij i iii CCTCCEH （10.4） 其中Ei是格点i处局域电子的能量，在 2 W± 间无规取值，Tij是格点j和格点i之间原子波函 数的交迭积分， 和C + Ci i分别表示一个电子在格点i的产生算符和湮灭算符。 在安德森模型中，考虑到一般无序固体里邻近格点的距离大致相等，故假定所有的 tij都是相等的，即tij = t；然而Ei是从宽度为W的能量分布中随机选取的，如图 10.12 所示， -W/2≤Ei≤W/2。因为无序出现在对角矩阵之中，故该模型又被称为对角无序模型。 要作进一步的处理就要知道能量的概率分布。为了数学上的方便，这里选取均匀分 布。 W Ep 1 )( = （10.5） 采用紧束缚方法展开波函数： = ∑ i ψ a φii （10.6） 式中φi 是以格点i为中心的原子轨道波函数，如果ψ是满足Hψ = Eψ 的本征函数， 那么，关于波幅ai的矩阵方程可以写为 += ∑ j iii ataEEa jij （10.7） 由式(10.7)可以得出定态解。对于ai的一般情况，运动依赖于时间的一般方程为 += ∑ j ii jij i ataE idt hda （10.8） 就可以给出定域的定义。假定在t = 0 时刻一个电子位于i格点上，则初始条件为ai(t=0)=1， 而i≠j的ai(t=0)=0,求解含时薛定谔方程（10.8）式可得知t→∞时的ai(t)的值。如果ai(t→ ∞)= 0，表明电子离开了格点在系统中运动，或者说电子已经被“扩散掉”了，即是说， 电子处于扩展态。如果ai(t→∞)是一个有限值，表明电子处在i格点的周围区域里，或者 说电子没有被扩散掉，而仅仅扩散到i的有限领域，因此我们说，电子处于定域态。 为了进一步简化，我们采用最近邻近似，即假设格点 i 被安排在规则的点阵上，而 且除最近邻以外的交迭积分都为 0。（10.7）式改写为 ∑= += + z iii ataEEa i δ 1 δ （10.9） 9