二拉格明日方程 5 =四，S对应经典力学的作用量，从而其可以写为Ac:,从而总几率幅为 op]=∑lpxl=A∑exp (Slpe]） 由于五很小，很小的S变化也会引起相位因子剧烈震荡抵消，只有在S=0附近相位因子相对变化缓 慢，导致几率幅基本同相位，干涉相加。经典情况下只有6S=0的路径可行，而量子力学下所有可能路 径都会通过，只是6S=0的路径几率最大。 $2.2变分 泛函：将个函数映射到一个数值的映射S(x小，如S(x川=(x)dz、S(x】=y(O)。 当函数作微小扰动y时【一般要求y边界处恒为0，泛函的变化定义为变分[等时变分]： 6.J=Ju(x)+6u(x)-Ju(x) 与微分完全相同可证明 6(±2)=61±62 6(山2)=h6h+J26 *变分与微分可交换：(dg)=d(y),可由()=(g+y-=(6g推得。 *与微分时相同，泛函取极值的点必须对任何6y变分为0，否则可取合适的上升下降方向。 例：若考虑泛函儿z引=f((),x)dr,与之前类似可算得 -广（-）她 于是从其恒0得到影一影=0，这就是此泛函的欧拉方程。 *当∫=f(,)与x无关时有 (-y器)=y(g-品)=0 欧拉方程也可以写为∫-影=C。 *当f=f红，)与无关时有 是影-0 即影=C。 最速降线问题 给定上下端点，求静止自然下降到下端点速度最快的曲线。设曲线为y(),最高点yO)=0,向下为正， 根据能量守恒下降y时速度为V2g,而曲线的ds=√1+（序d,于是 6V2g 要取最小值，且(xo)=如固定。 根据欧拉方程可化简得到 (1+(2y=C 分离出dz,dy,设y=Csim20可得到r=C(0-sin(20),这是摆线对应的参数方程。 二 拉格朗日方程 5 θk = S[pk] h¯ ，S 对应经典力学的作用量，从而其可以写为 Ae iθk，从而总几率幅为 ϕ[pk] = X k ϕ[pk] = A X i exp  i ¯h S[pk]  由于 ¯h 很小，很小的 S 变化也会引起相位因子剧烈震荡抵消，只有在 δS = 0 附近相位因子相对变化缓 慢，导致几率幅基本同相位，干涉相加。经典情况下只有 δS = 0 的路径可行，而量子力学下所有可能路 径都会通过，只是 δS = 0 的路径几率最大。 §2.2 变分 泛函：将一个函数映射到一个数值的映射 S[y(x)]，如 S[y(x)] = R 1 0 y(x)dx、S[y(x)] = y(0)。 当函数作微小扰动 δy 时 [一般要求 δy 边界处恒为 0]，泛函的变化定义为变分 [等时变分]： δJ = J[y(x) + δy(x)] − J[y(x)] 与微分完全相同可证明 δ(J1 ± J2) = δJ1 ± δJ2 δ(J1J2) = J1δJ2 + J2δJ1 δ J1 J2 = J2δJ1 − J1δJ2 J 2 2 * 变分与微分可交换：δ(dy) = d(δy)，可由 δ(y ′ ) = (y + δy) ′ − y ′ = (δy) ′ 推得。 * 与微分时相同，泛函取极值的点必须对任何 δy 变分为 0，否则可取合适的上升/下降方向。 例：若考虑泛函 J[y(x)] = R x2 x1 f(y(x), y′ (x), x)dx，与之前类似可算得 δJ = Z x2 x1  ∂f ∂y − d dx ∂f ∂y′  δydx 于是从其恒 0 得到 ∂f ∂y − d dx ∂f ∂y′ = 0，这就是此泛函的欧拉方程。 * 当 f = f(y, y′ ) 与 x 无关时有 d dx  f − y ′ ∂f ∂y′  = y ′  ∂f ∂y − d dx ∂f ∂y′  = 0 欧拉方程也可以写为 f − y ′ ∂f ∂y′ = C。 * 当 f = f(x, y′ ) 与 y 无关时有 d dx ∂f ∂y′ = 0 即 ∂f ∂y′ = C。 最速降线问题 给定上下端点，求静止自然下降到下端点速度最快的曲线。设曲线为 y(x)，最高点 y(0) = 0，向下为正， 根据能量守恒下降 y 时速度为 √ 2gy，而曲线的 ds = p 1 + (y ′) 2 dx，于是 t = Z x0 0 ds v = Z x0 0 s 1 + (y ′) 2 2gy dx 要取最小值，且 y(x0) = y0 固定。 根据欧拉方程可化简得到 (1 + (y ′ ) 2 )y = C 分离出 dx, dy，设 y = C sin2 θ 可得到 x = C ￾ θ − 1 2 sin(2θ)
，这是摆线对应的参数方程