二拉格朗日方程 6 悬链线 设悬链线单位长度质量为p,函数(，则体系势能为 代入欧拉方程化简得到-(1+=0，解得y=C1c0sh投，可根据边界条件确定参数 带约束问题 绳子长度固定为L,两端都在x轴上，求围成面积最大的曲线 设函数为(，则面积S=dx,长度L=VT+乎d江。利用乘子法，对S+AL作变分为0可 列出欧拉方程，进一步求解即得（红-c1)2+(g-)2=A2。 *此处入可具有物理意义：入=一关系到面积随长度的变化 拉格朗日方程 根据最小作用量原理与欧拉方程可知对任何下标α有 d oLOL d0%6=0 这或是拉格朗只方程。 *拉格朗日量可加，相加即两个独立体系组成共同体系。 *由于S=Ld,L增加某对t的全微商f)后S增加f)-f化，为常数，因此不会影响变分的 计算。 *在未必是保守系统的一般情形下，势能V无意义，此时哈密顿原理仍然存在，但会有额外的项。 莫培督原理 对于保守场自由运动的质点，考虑作用量 s-mi-dr 则真实轨迹满足6S=0. 证明：由于L=T-V,能量E=T+V守恒，为常数，因此是t的全微商，从而哈密顿原理可改写为 r-v+=0 即25化Tdt=0。注意到单质点的Tdt可以写为mi,dF即可换元得证。 *对质点组，只需积分中对m可：d行求和。 $2.3虚功视角 约束运动：坐标与速度间存在一些不涉及任何力的限制关系，如f(q,,)=0或f(q,4,)≥0。 约束的分类： 1.定常约束（也称稳定约束）：不含时间的约束，如f(q,)=0:不定常约束：随时间变化的约束。 2.几何约束：不含速度的约束，可代表质点在曲线或曲面上运动，如f(4,)=0:完整约束有时认为 完整约束与几何约束等价：几何约束或可以积分为几何约束的约束，如q=0实质上是约束在平 面上，仍然是几何约束：非完整约束：不可积分为几何约束的约束。二 拉格朗日方程 6 悬链线 设悬链线单位长度质量为 ρ，函数 y(x)，则体系势能为 V = ρg Z x2 x1 yds = ρg Z x2 x1 y p 1 + ˙y 2 dx 代入欧拉方程化简得到 yy¨ − (1 + ˙y) 2 = 0，解得 y = C1 cosh x+C2 C1 ，可根据边界条件确定参数。 带约束问题 绳子长度固定为 L，两端都在 x 轴上，求围成面积最大的曲线。 设函数为 y(x)，则面积 S = R x2 x1 ydx，长度 L = R x2 x1 p 1 + ˙y 2 dx。利用乘子法，对 S + λL 作变分为 0 可 列出欧拉方程，进一步求解即得 (x − c1) 2 + (y − c2) 2 = λ 2。 * 此处 λ 可具有物理意义：λ = − δS δL 关系到面积随长度的变化。 拉格朗日方程 根据最小作用量原理与欧拉方程可知对任何下标 α 有 d dt ∂L ∂q˙α − ∂L ∂qα = 0 这就是拉格朗日方程。 * 拉格朗日量可加，相加即两个独立体系组成共同体系。 * 由于 S = R t2 t1 Ldt，L 增加某对 t 的全微商 f ′ (t) 后 S 增加 f(t2) − f(t1)，为常数，因此不会影响变分的 计算。 * 在未必是保守系统的一般情形下，势能 V 无意义，此时哈密顿原理仍然存在，但会有额外的项。 莫培督原理 对于保守场自由运动的质点，考虑作用量 S = Z B A m⃗v · d⃗r 则真实轨迹满足 δS = 0。 证明：由于 L = T − V ，能量 E = T + V 守恒，为常数，因此是 t 的全微商，从而哈密顿原理可改写为 δ Z t2 t1 (T − V + E)dt = 0 即 2δ R t2 t1 T dt = 0。注意到单质点的 T dt 可以写为 1 2m⃗v · d⃗r 即可换元得证。 * 对质点组，只需积分中对 m⃗v · d⃗r 求和。 §2.3 虚功视角 约束运动：坐标与速度间存在一些不涉及任何力的限制关系，如 f(q, q, t ˙ ) = 0 或 f(q, q, t ˙ ) ≥ 0。 约束的分类： 1. 定常约束 (也称稳定约束)：不含时间的约束，如 f(q, q˙) = 0；不定常约束：随时间变化的约束。 2. 几何约束：不含速度的约束，可代表质点在曲线或曲面上运动，如 f(q, t) = 0；完整约束 [有时认为 完整约束与几何约束等价]：几何约束或可以积分为几何约束的约束，如 q · q˙ = 0 实质上是约束在平 面上，仍然是几何约束；非完整约束：不可积分为几何约束的约束