二拉格明日方程 3.可解约束：可在某一方向脱离的约束，即不等式表达且无法化为等式的约束：不可解约束：等式表达 的约束。 自由度：N个质点的自由运动可用3N个独立参量描述（每个质点的空间位置），而每有一个独立的完整 约束，自由参量就减少了一个，若存在k个，则自由度s=3N-k。 广义坐标：自由度为8时，采用8个独立坐标，，9，描述系统，它们就是广义坐标。广义坐标张成的 维空间称为位形空间。 *可解约束视为成立而减少自由度，不成立时需增加一个独立坐标，重新处理。 *广义坐标可以任意选取，但应遵循简洁的原则，如两连单摆构成的双摆只需选取两杆分别的角度0，？ 作为广义坐标。 *称为广义速度 虚位移 假象质点系统发生了微小的符合约束的位移，与实位移dr差别： 1.解时完成，不需要时间： 2.满足约束时可任意选取，并未真实发生： 3.无论对定常或非定常约束都沿着切线方向如膨胀气球上爬行的小虫，虚位移不需要时间因此必为切 线方向。 理想约束：约束反力所作虚功之和为0，即∑，瓦·所=0，例如 1.物体在光滑曲面运动，约束力必然垂直曲面，于是1示： 2.刚性约束：约束力成对出现瓦+2=0如对刚体的约束： 3.接触约束：摩擦力等这里事实上是将摩擦力作为约束产生的主动力处理]。 虚功原理 理想约束条件下，平衡时主动力所做总虚功为0 虚功：力在虚位移下作的假想的功 w=∑（后+）所 这里示为质占所母主动力，豆为质占所受约束力。 若所有质点处在平衡态，必然有+=0，于是W=0,对理想约束即有∑·所=0 广义坐标下： =0 =1a= 由于广义坐标互相独立，记广义力Q。=∑，月·，则方程为∑。Qa6g=0,于是Q。=0。 *保守力体系中设=一VV这里V:知对应子 的三个分量求导后拼成矢量，则Q。=一严=0，于 是虚功原理可写成W=一V=0,也即平衡时势能达到极值。 达朗贝尔原理 理想约束条件下，非平衡时主动力与惯性力所作总虚功为0。 m=耳+屁→∑（-m):所=0 二 拉格朗日方程 7 3. 可解约束：可在某一方向脱离的约束，即不等式表达且无法化为等式的约束；不可解约束：等式表达 的约束。 自由度：N 个质点的自由运动可用 3N 个独立参量描述 (每个质点的空间位置)，而每有一个独立的完整 约束，自由参量就减少了一个，若存在 k 个，则自由度 s = 3N − k。 广义坐标：自由度为 s 时，采用 s 个独立坐标 q1, . . . , qs 描述系统，它们就是广义坐标。广义坐标张成的 s 维空间称为位形空间。 * 可解约束视为成立而减少自由度，不成立时需增加一个独立坐标，重新处理。 * 广义坐标可以任意选取，但应遵循简洁的原则，如两连单摆构成的双摆只需选取两杆分别的角度 θ1, θ2 作为广义坐标。 * 称 q˙i 为广义速度 虚位移 假象质点系统发生了微小的符合约束的位移 δr，与实位移 dr 差别： 1. 瞬时完成，不需要时间； 2. 满足约束时可任意选取，并未真实发生； 3. 无论对定常或非定常约束都沿着切线方向 [如膨胀气球上爬行的小虫，虚位移不需要时间因此必为切 线方向]。 理想约束：约束反力所作虚功之和为 0，即 P i R⃗ i · δ⃗ri = 0，例如： 1. 物体在光滑曲面运动，约束力必然垂直曲面，于是 R⃗⊥δ⃗r； 2. 刚性约束：约束力成对出现 R⃗ 1 + R⃗ 2 = 0 [如对刚体的约束]； 3. 接触约束：摩擦力等 [这里事实上是将摩擦力作为约束产生的主动力处理]。 虚功原理 理想约束条件下，平衡时主动力所做总虚功为 0。 虚功：力在虚位移下作的假想的功 δW = X i (F⃗ i + R⃗ i) · δ⃗ri 这里 F⃗ 为质点所受主动力，R⃗ 为质点所受约束力。 若所有质点处在平衡态，必然有 F⃗ i + R⃗ i = 0，于是 δW = 0，对理想约束即有 P i F⃗ i · δ⃗ri = 0。 广义坐标下： X N i=1 Xs α=1 F⃗ i · ∂⃗ri ∂qα δqα = 0 由于广义坐标互相独立，记广义力 Qα = P i F⃗ i · ∂⃗ri ∂qα，则方程为 P α Qαδqα = 0，于是 Qα = 0。 * 保守力体系中设 F⃗ i = −∇iV [这里 ∇i 知对应 ⃗ri 的三个分量求导后拼成矢量]，则 Qα = − ∂V ∂qα = 0，于 是虚功原理可写成 δW = −δV = 0，也即平衡时势能达到极值。 达朗贝尔原理 理想约束条件下，非平衡时主动力与惯性力所作总虚功为 0。 m¨⃗ri = F⃗ i + R⃗ i ⇒ X i ￾ F⃗ i − m¨⃗ri
· δ⃗ri = 0