二拉格朗日方程 双连杆平衡 两长度为l,2、质量为m, 2连杆，力F水平向前作用在最底端，求平衡时两连杆的偏移角度1,B2 记两连杆中心点，，F作用点，则 6W=m1g.6+m2g6品2+F.6 且这里，(0)=(cos0,sin),向下、向前为两轴正方向] =(0) =1e,(0)+e,(02) g=I1e,(01)+l2e,(02) 代入整理并由1,602独立即可解出 2F 2F 0arctan (marctanm *由于下与mG均为保守力，此处也可用势能最低解出结果。 连线穿孔两小球运动 桌面上有一质量m1小球，通过一条长1的线连接到原点处桌下自由下落质量m2小球，求运动轨迹。 取广义坐标为桌上小球的,,则有 i=rrf=-(l-r)e: 于是可进一步算出沉，行，与元，在广义坐标下的表示，从而代入达朗贝尔方程得到[由垂直忽略m的 重力项] -m1(-r护)e,+(ri+2r0)eg)·(6re,+r60eo)+(-m29-m2r)e.·dre2=0 化简得到 J(m1+m2)F-m1r2+m2g=0 8+2r0=0 *第二个方程可以得到29为常数，本质为角动量守恒，从而可以进一步求解轨迹。 拉格朗日方程的推导 根据达朗贝尔原理变换为广义坐标后可得方程 ∑m那-o. 由于元=∑.肥+需，有 张-蕊 于是对动能T有 需-∑恶恶-工m成恶 代入化简即有 品g-恶-0 这就是一般的拉格朗日方程。二 拉格朗日方程 8 双连杆平衡 两长度为 l1, l2、质量为 m1, m2 连杆，力 F⃗ 水平向前作用在最底端，求平衡时两连杆的偏移角度 θ1, θ2。 记两连杆中心点 ⃗r1, ⃗r2，F⃗ 作用点 ⃗rF，则 δW = m1⃗g · δ⃗r1 + m2⃗g · δ⃗r2 + F⃗ · δ⃗rF 且 [这里 eˆr(θ) = (cos θ,sin θ)，向下、向前为两轴正方向]    ⃗r1 = l1 2 eˆr(θ1) ⃗r2 = l1eˆr(θ1) + l2 2 eˆr(θ2) ⃗rF = l1eˆr(θ1) + l2eˆr(θ2) 代入整理并由 δθ1, δθ2 独立即可解出 θ1 = arctan 2F (m1 + 2m2)g , θ2 = arctan 2F m2g * 由于 F⃗ 与 m⃗g 均为保守力，此处也可用势能最低解出结果。 连线穿孔两小球运动 桌面上有一质量 m1 小球，通过一条长 l 的线连接到原点处桌下自由下落质量 m2 小球，求运动轨迹。 取广义坐标为桌上小球的 r, θ，则有 ⃗r1 = reˆr, ⃗r2 = −(l − r)ˆez 于是可进一步算出 δ⃗r1, δ⃗r2 与 ¨⃗r1, ¨⃗r2 在广义坐标下的表示，从而代入达朗贝尔方程得到 [由垂直忽略 m1 的 重力项] −m1 ￾ (¨r − r ˙θ 2 )ˆer + (r ¨θ + 2 ˙r ˙θ)ˆeθ
· (δreˆr + rδθeˆθ) + (−m2g − m2r¨)ˆez · δreˆz = 0 化简得到    (m1 + m2)¨r − m1r ˙θ 2 + m2g = 0 r ¨θ + 2 ˙r ˙θ = 0 * 第二个方程可以得到 r 2 ˙θ 为常数，本质为角动量守恒，从而可以进一步求解轨迹。 拉格朗日方程的推导 根据达朗贝尔原理变换为广义坐标后可得方程 X i mi ¨⃗ri · ∂⃗ri ∂qα = Qα 由于 ˙⃗ri = P α ∂⃗ri qα q˙α + ∂⃗ri ∂t ，有 ∂⃗ri ∂qα = ∂ ˙⃗ri ∂q˙α 于是对动能 T 有 ∂T ∂q˙α = X i mi ˙⃗ri · ∂⃗ri ∂qα , ∂T ∂qα = X i mi ˙⃗ri · ∂ ˙⃗ri ∂qα 代入化简即有 d dt ∂T ∂q˙α − ∂T ∂qα = Qα 这就是一般的拉格朗日方程