二拉格朗日方程 4 它与牛倾第二定律等价，左侧的q()代表质点的位置随时间变化的映射，q)=(x),(),z()》,左侧6 为泛函的变分，S是一个泛函，定义为 stat))=人4a.g0at g为q对t的导数，即速度，拉格朗日量L定义为T()-V(q()》,前一项代表动能，后一项代表势能。 单质点时，动能即为T=m心。 变分为0的含义事实上是，对任何g的微小变化()=q()+cdg()这里g为保持g(t知)=g(化)=0 的任一光滑函数]，引起的4「a:(t1都在e=0点为0.下面以此计算出单质点的牛顿第二定律。 直接求导可知由于有限区间积分，积分与求导可交换有 ao=(m-va)e）r *此处VV指V(q)对g的梯度。 进一步利用对t对e求导可交换可知=0时上式为 (g-v) 对第一项分部积分，利用边界6g(to)=g)=0可知(-m-7V(q)g的积分为0，由g任意性可 -VV(g)=mij 这也就是保守力场下的牛顿第二定律。 物理意义：这里变分为0代表S在某个驻点，一般来说为局部极小值，因此称为最小作用量原理。由于 L三T一V,动能代表当前发生的程度，势能表示潜在的发生程度，总体表征系统的活跃性，因此最小作 用量原理的物理意义是系统倾向于最低活跃性的状态。这一观念在其他地方也有体现： 静力学最小能量原理 对杠杆，假设两臂长度L1,L2,物体质量m1,m2,证明平衡时m1L1=m2L2:假设L2向上某小角度d0 趋于0的虚角度]，则此端降低近似为L2d0,引力做功-m29L2d0,而另一端引起引力做功为m19L1d0, 由虚功原理引力总做功为0，因此m1L:=m2L2 光学费马原理 下面利用费马原理[光程取极值]推出光的反射与折射定律[由两点直线最短直接得到光在均匀介质中走直 线1： 对于反射，若从A到C,设反射点B,考虑C过镜子对称点C”,由于AB+BC=AB+BC,当且仅 当ABC共线时光程最短，此时满足入射角反射角相等。 对于折射，给定A,B两点，光在介质中传播总时间 直接计算可以证明介质分界面满足n1sinA1=n2sinA2时S=0取到极小值，这就是Smel定律。 非经典情况 双缝干涉揭示了电子与自身的干涉。设电子枪为A点，屏幕为B点，费曼认为每条路径的概率等于几率 幅模长的平方，而电子同时从所有可能路径通行，到每个路径：几率相等，只是相位不同，】的角度二 拉格朗日方程 4 它与牛顿第二定律等价，左侧的 q(t) 代表质点的位置随时间变化的映射，q(t) = (x(t), y(t), z(t))，左侧 δ 为泛函的变分，S 是一个泛函，定义为 S[q(t)] = Z t1 t0 L( ˙q, q, t)dt q˙ 为 q 对 t 的导数，即速度，拉格朗日量 L 定义为 T( ˙q(t)) − V (q(t))，前一项代表动能，后一项代表势能。 * 单质点时，动能即为 T = 1 2mq˙ 2。 变分为 0 的含义事实上是，对任何 q 的微小变化 qϵ(t) = q(t) + ϵδq(t) [这里 δq 为保持 δq(t0) = δq(t1) = 0 的任一光滑函数]，引起的 d dϵ [qϵ(t)] 都在 ϵ = 0 点为 0. 下面以此计算出单质点的牛顿第二定律。 直接求导可知 [由于有限区间积分，积分与求导可交换] 有 d dϵ S[qϵ(t)] = Z t1 t0  mq˙ϵ · dq˙ϵ dϵ − ∇V (qϵ) · dqϵ dϵ  dt * 此处 ∇V 指 V (q) 对 q 的梯度。 进一步利用对 t 对 ϵ 求导可交换可知 ϵ = 0 时上式为 Z t1 t0  mq˙ · dδq dt − ∇V (q) · δq dt 对第一项分部积分，利用边界 δq(t0) = δq(t1) = 0 可知 ￾ − mq¨− ∇V (q)
· δq 的积分为 0，由 δq 任意性可 知 −∇V (q) = mq¨ 这也就是保守力场下的牛顿第二定律。 物理意义：这里变分为 0 代表 S 在某个驻点，一般来说为局部极小值，因此称为最小作用量原理。由于 L = T − V ，动能代表当前发生的程度，势能表示潜在的发生程度，总体表征系统的活跃性，因此最小作 用量原理的物理意义是系统倾向于最低活跃性的状态。这一观念在其他地方也有体现： 静力学-最小能量原理 对杠杆，假设两臂长度 L1, L2，物体质量 m1, m2，证明平衡时 m1L1 = m2L2：假设 L2 向上某小角度 dθ [趋于 0 的虚角度]，则此端降低近似为 L2 dθ，引力做功 −m2gL2 dθ，而另一端引起引力做功为 m1gL1 dθ， 由虚功原理引力总做功为 0，因此 m1L1 = m2L2。 光学-费马原理 下面利用费马原理 [光程取极值] 推出光的反射与折射定律 [由两点直线最短直接得到光在均匀介质中走直 线]： 对于反射，若从 A 到 C，设反射点 B，考虑 C 过镜子对称点 C ′，由于 AB + BC = AB + BC′，当且仅 当 ABC′ 共线时光程最短，此时满足入射角反射角相等。 对于折射，给定 A, B 两点，光在介质中传播总时间 S[⃗x(t)] = Z B A ds v = 1 c Z B A nds 直接计算可以证明介质分界面满足 n1 sin θ1 = n2 sin θ2 时 δS = 0 取到极小值，这就是 Snell 定律。 非经典情况 双缝干涉揭示了电子与自身的干涉。设电子枪为 A 点，屏幕为 B 点，费曼认为每条路径的概率等于几率 幅模长的平方，而电子同时从所有可能路径通行，到每个路径 pi 几率相等，只是相位不同，ϕ[pk] 的角度