二拉格明日方程 对一个运动的粒子，其在∑中经历的状态可以由一系列(，工，，)描述，也即构成了四维空间中的一条 曲线x()。这里T是曲线的参数，对有质量粒子一般为固有时，即随粒子运动的时钟所经历的时间。在 四维情形下，牛顿第二定律扩展成为 f"-m dT- 这里尸，2,3即对应三维的牛顿第二定律，心为时间维度上的力。注意到固有时不会随者参考系变化，在 系中应有 从而由洛伦兹变换线性性即可算出严=，∫”。若”仅在空间的x轴上有力'，计算可得 f=（f,f',0,0】 若即为随粒子运动的参考系，瞬时即有票=Y,由此可知时间维度的方程 =n回 能化为 时'-m-A 实质上是能量方程 而空间维度工方向方程写为 f=m(m出) 事实上为动量方程 *三维牛顿第二定律仅为动量方程，扩展到四维后成为能量动量方程。 开普勒第一完律 本段中，我们用费曼对开普勒第一定律的几何证明以展示经典力学中的物理图像。 引理：由于椭圆可写为到两点距离和一定的点的集合，给定圆心0的一个圆与圆内一点A,动点B在圆 上，则AB中垂线与OB的交点（记为P)轨迹为椭圆。 将行星轨道以太阳为中心以均匀小角度△日剖分，则相邻两点间速度差 2 这里è为指向中心的单位矢量，第二个等号运用了等面积定律。 由于此速度差大小为常数，而色在个方向均匀分布（利用剖分均匀性），可知所有的速度矢量在端点平移到 点后都分布在一个圆上[但端点并非圆心，这就是行星绕太阳雨运动的速度图。只要计算出此速度场积 分形成的曲线，就可以得到行星轨道。 记端点为A,圆心为O,端点绕圆心顺时针旋转多得到A,利用引理方法可构造椭圆。对任何一点B, 可验证引理中所画的中垂线也是椭圆在P处的切线，即速度方向。由于中垂线与AB垂直，A'O与AO 垂直，可得恰好对应出发，终点在圆周上的速度，从而得证。 二拉格朗日方程 S2.1最小作用量原理 最小作用量原理可表述为 6SLg(t】=0 二 拉格朗日方程 3 对一个运动的粒子，其在 Σ 中经历的状态可以由一系列 (ct, x, y, z) 描述，也即构成了四维空间中的一条 曲线 x µ (τ )。这里 τ 是曲线的参数，对有质量粒子一般为固有时，即随粒子运动的时钟所经历的时间。在 四维情形下，牛顿第二定律扩展成为 f µ = m d 2 dτ 2 x µ 这里 f 1,2,3 即对应三维的牛顿第二定律，f 0 为时间维度上的力。注意到固有时不会随着参考系变化，在 Σ ′ 系中应有 f ′µ = m d 2 dτ 2 x ′µ 从而由洛伦兹变换线性性即可算出 f µ = Λµ ·ν f ′ν。若 f ′ν 仅在空间的 x 轴上有力 f ′，计算可得 f =  γ v c f ′ , γf′ , 0, 0  若 Σ ′ 即为随粒子运动的参考系，瞬时即有 dt dτ = γ，由此可知时间维度的方程 γ v c f ′ = m d 2 dτ 2 (ct) 能化为 vf′ = d dt (γmc2 ) = d dt E 实质上是能量方程。 而空间维度 x 方向方程写为 γf′ = m d dt  m dx dt  事实上为动量方程。 * 三维牛顿第二定律仅为动量方程，扩展到四维后成为能量-动量方程。 开普勒第一定律 本段中，我们用费曼对开普勒第一定律的几何证明以展示经典力学中的物理图像。 引理：由于椭圆可写为到两点距离和一定的点的集合，给定圆心 O 的一个圆与圆内一点 A，动点 B 在圆 上，则 AB 中垂线与 OB 的交点 (记为 P) 轨迹为椭圆。 将行星轨道以太阳为中心以均匀小角度 ∆θ 剖分，则相邻两点间速度差 ∆v = GMm∆t r 2 eˆ = GMm∆θ L eˆ 这里 eˆ 为指向中心的单位矢量，第二个等号运用了等面积定律。 由于此速度差大小为常数，而 eˆ 在个方向均匀分布 (利用剖分均匀性)，可知所有的速度矢量在端点平移到 一点后都分布在一个圆上 [但端点并非圆心]，这就是行星绕太阳雨运动的速度图。只要计算出此速度场积 分形成的曲线，就可以得到行星轨道。 记端点为 A′，圆心为 O，端点绕圆心顺时针旋转 π 2 得到 A，利用引理方法可构造椭圆。对任何一点 B， 可验证引理中所画的中垂线也是椭圆在 P 处的切线，即速度方向。由于中垂线与 AB 垂直，A′O 与 AO 垂直，可得恰好对应 A′ 出发，终点在圆周上的速度，从而得证。 二 拉格朗日方程 §2.1 最小作用量原理 最小作用量原理可表述为： δS[q(t)] = 0