乡花油大学 本科课程考试参考答案与评分标准 2006/2007学年第2学期 课程名称:高等代数(2) 考试性质:考试试卷类型:A 考试班级:信息0601-0602数学0601考试方法:闭卷命题教师:王忠义 100 (3分) 0011 000-1 所以rank(a1,a2,B1,B2)4,dm(V1+V2)=dim(Span(a1,2,B1,阝2)=4(3分) 从而dim(VnV2)=dm(V1)dm(V2)dim(V+V2)=4-4=0 (3分) 三、(10分)在V=F3中,令o(a,a,a3)=(3a-a2-3a3,a1+4a-4a3,-a-a).证明: G是V的一个线性变换 证首先σ是V上的一个变换,又 o((al, a2, a3)+(b1, b2, b3))=o(ar+b1, a2+b2, a3+b3) =(3(a1+b)(a2+b2)3(a+b)(an+b)+4(a2+b2)4(a3+b)-2(an+b1)(a+b2) =(3a1-a-3a3,an+4a24a3,-2a-a2)+(3b-b2-3b;,bn+4b2-4b3,-2b-b2) g(a 3)+o(b1,b2,b3) (5分) X o(k(al, a2, a3)=o(kal, ka2, ka3) =(3kar-ka2-3ka3, kar+4ka2-4ka3,-2kaj-ka2) k(3a1-a-3a3,an+4a2-4as,-2a-a2)=ko(a,a,a3) (5分) 所以G∈(V) 四、(12分)在F中,令oa1,a,a3)=(2a1-a3,an+4a,a-a),求在基{e,e2, e3}下的矩阵.其中e=(1,0,0),ε2=0,1,0),ε3=(0,0,1) 解o(E1)=o(1,0,0=(2,1,1)=(,e2,e)1 (3分) 0 o(e2)=o(0,1,00,0,-1)=(e,E2,e3)0 (3分) 第2页共6页第 2 页 共 6 页 本科课程考试参考答案与评分标准 2006/2007 学年第 2 学期 课程名称：高等代数(2) 考试性质：考试 试卷类型：A 考试班级：信息 0601-0602 数学 0601 考试方法：闭卷 命题教师：王忠义 →         0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 （3 分） 所以 rank(α1, α2, β1, β2)=4, dim(V1+ V2)=dim(Span(α1, α2, β1, β2))=4 （3 分） 从而 dim(V1∩V2)= dim(V1)+dim(V2)-dim(V1+ V2)=4-4=0 （3 分） 三、（10 分）在 V=F 3中，令σ(a1，a2，a3)=(3a1-a2-3a3，a1+4a2-4a3，-2a1-a2)．证明： σ是 V 的一个线性变换． 证 首先σ是 V 上的一个变换, 又 σ((a1，a2，a3)+ (b1，b2，b3))= σ(a1+b1，a2+b2，a3+b3) =(3(a1+b1)-( a2+ b2)-3(a3+b3),( a1+b1)+4(a2+b2)-4(a3+b3),-2(a1+ b1)-( a2+ b2)) =( 3a1-a2-3a3，a1+4a2-4a3，-2a1-a2)+ (3b1-b2-3b3，b1+4b2-4b3，-2b1-b2) = σ(a1，a2，a3)+σ(b1，b2，b3) （5 分） 又 σ(k(a1，a2，a3))= σ(ka1，ka2，ka3) =(3ka1-ka2-3ka3，ka1+4ka2-4ka3，-2ka1-ka2) =k(3a1-a2-3a3，a1+4a2-4a3，-2a1-a2)=kσ((a1，a2，a3)) （5 分） 所以σ∈ℒ(V)． 四、（12 分）在 F 3 中，令σ(a1，a2，a3)=(2a1-a3，a1+4a3，a1-a2)，求σ在基{ε1，ε2， ε3}下的矩阵．其中ε1=(1,0,0)，ε2=(0,1,0)，ε3=(0,0,1)． 解σ(ε1)= σ(1，0，0)=(2,1,1)=(ε1，ε2，ε3)       1 1 2 （3 分） σ(ε2)= σ(0，1，0)=(0,0,-1)=(ε1，ε2，ε3)      1 0 0 （3 分）