·28· 智能系统学报 第1卷 M+N 的球域 =·(x)+∑f(x-X)+ B5=/x1‖x-x‖<6}，i=N+1,N+M M+N >v a(x)d= 1 之中.显然6>马，从而取e=6,可知当1→时，所 有的智能体都将进入并停留在以群体中心x为中 [-w+中，. 心的球域： B:=x lx-x l<6.i=1,.M+N M+N ∑(x.X)(a-f,(lx-XD)= 之中，证毕. -1 评注1由群体的界的表达式可以看出，无论 -7g0(x)-a(M+W)e+ 是leader群体的数量增加，还是follower群体的数 M+N 量增加都将缩小界的大小，并且当时M,N→时，￡ 以.Ik.+ →/α.在数量适宜的情况下，该模型描述的群体将 形成一个更加紧密的群体共同移向目标.但群体数 +N,ur'e 量的增大会使得群体的运动速度显著减小，并且使 a(M+N)llel2+ 得群体密度不断增大，这两种情况对应用来说都是 M+N 不利的. (x×'t 评注2从群体的界的表达式还可以看出，a增 大时，￡减少：b增大时，ε增大.这与吸引/排斥函数 a(x) ,'s 设置的初衷完全相符」 评注3在以上的证明中，由于使用了假设1， "∑f,(IK.×UIk.×I·e1+ 以及不等式xy≤lx‖·Iy‖，同时对排斥力也 作了有界性假设，因而由以上分析得出的界是非常 Iw:+w,FwWI·le- 保守的.智能体群体的实际大小应比B:小 a(M+Nle2≤ 以下给出当环境势能场函数分别为平面和二次 型曲面时系统的行为， a(M+N)lle l2+b(M+N)lle'l+ M+2No lle= 3 群体沿平面和二次型曲面势能场的 M+N a(M+N)lle Ie∥.b.M+2x 运动分析 a a(M+2 首先考虑平面场情形，在这种情况下，令表示环 7) 境信息的势能场函数为 由式7)可知，只要Ie‖>上+2=与. afy)ady +bo /9 aa(M+N)2 式中：a∈R”,b∈R.由此易得平面的梯度向量为 即有片<0成立.从而所有的leader智能体都最终 7,0(y=a,同时有o=a。,从而由式7)与8)可以 进入并保留在以群体中心为中心x的球域 得到 B5=fx1x-x‖<6}，i=1,…N 之中.其次考虑follower智能体的情形 arM+N)=ha 6=b+eM±2M a aa(M+N)2 y-[+d，x网'e 取e=max(6,),则由定理1知，当1→时，所有 的智能体将进入并保持在球域 [3.a-I以.)+ M+N B:={xx-x l E,i =1..M N) 1-17为 之中.另外，有 ,wr's N x=.M+N o(x)=M a. a(M+N)lle'l2+b(M+N)llel+ (10) ,e= M+N 由式(10)可知智能体中心在环境中做作直线运动的 速度大小与智能体数量的多少有关，对应于给定的 a(M+N)lle aa(M+N) 群体规模具有确定的速度.稍加分析可知两类智能 体数量的增大都会导致群体运动速度值的减少，只 由式8)可知，只要Ie>上+ 是follower数量的变化影响更加明显，仿真实例也 aafM+N☑2= 证实了这一点.其次，考虑群体沿二次型曲面势能场 ,则有<0成立.从而所有的follower智能体当 的运动，在这种情形下，令表示环境信息的势能场函 1→时都最终进入并保留在以群体中心x为中心 数为 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved. http://www.cnki.netV·i l = - ý j xσ( x i ) + ∑ M+ N j =1 , j ≠i f ( x i - x j ) + 1 M + N ∑ N j =1 ý j x σ( x j ) T e i = - ý j xσ( x i ) + 1 M + N ∑ N j =1 ý j xσ( x j )σ( x j ) T e i - ∑ M+N j =1 , j ≠i ( x i - x j ) ( a - f r ( ‖x i - x j ‖) ) = - ý j xσ( x i ) - a( M + N) e i + ∑ M+N j =1 , j ≠i ( x i - x j ) f r ( ‖x i - x j ‖) + 1 M + N ∑ N j =1 ý j xσ( x j ) T e i = - a( M + N) ‖e i ‖2 + ∑ M+N j =1 , j ≠i f r ( ‖x i - x j ‖) ( x i - x j ) T e i - ý i xσ( x i ) - 1 M + N ∑ N j =1 ý j xσ( x j ) T e i ≤ ∑ M+N j =1 , j ≠i f r ( ‖x i - x j ‖) ‖x i - x j ‖·‖e i ‖+ ‖ý i xσ( x i ) - 1 M + N ∑ N j =1 ý j xσ( x j ) ‖·‖e i ‖- a( M + N) ‖e i ‖2 ≤ - a( M + N) ‖e i ‖2 + b( M + N) ‖e i ‖+ M + 2N M + N σ‖e i ‖= - a( M + N) ‖e i ‖ ‖e i ‖- b a - M + 2N a( M + N) 2σ€ . (7) 由式(7) 可知 ,只要 ‖e i ‖> b a + M + 2 N a ( M + N) 2σ€ =ε1 , 即有 V·i l < 0 成立. 从而所有的 leader 智能体都最终 进入并保留在以群体中心为中心 x 的球域 Bε1 = { x i | ‖x i - x ‖ <ε1 } , i = 1 , …, N 之中. 其次考虑 follower 智能体的情形. V·i j = ∑ M+N l =1 , l ≠i f ( x i - x l ) + 1 M + N ∑ N j =1 ý j x σ( x j ) T e i = - ∑ M+ N l = 1 , l ≠1 ( x i - x l ) ( a - f r ( ‖x i - x l ‖) ) + 1 M + N ∑ N j =1 ý j x σ( x j ) T e i ≤ - a( M + N) ‖e i ‖2 + b( M + N) ‖e i ‖+ Nσ€ M + N ‖e i ‖ = - a( M + N) ‖e i ‖ ‖e i ‖- b a - Nσ€ a( M + N) 2 . (8) 由式(8) 可知 ,只要 ‖e i ‖> b a + Nσ€ a ( M + N) 2 = ε2 ,则有 V·i f < 0 成立. 从而所有的 follower 智能体当 t →∞时都最终进入并保留在以群体中心 x 为中心 的球域. Bε2 = { x i | ‖x i - x ‖<ε2 } , i = N + 1 , …, N + M 之中. 显然ε1 >ε2 ,从而取ε=ε1 ,可知当 t →∞时 ,所 有的智能体都将进入并停留在以群体中心 x 为中 心的球域 : Bε = { x i | ‖x i - x ‖ <ε, i = 1 , …, M + N} 之中. 证毕. 评注 1 由群体的界的表达式可以看出 ,无论 是 leader 群体的数量增加 ,还是 follower 群体的数 量增加都将缩小界的大小 ,并且当时 M , N →∞时 ,ε →b/ a. 在数量适宜的情况下 ,该模型描述的群体将 形成一个更加紧密的群体共同移向目标. 但群体数 量的增大会使得群体的运动速度显著减小 ,并且使 得群体密度不断增大 ,这两种情况对应用来说都是 不利的. 评注 2 从群体的界的表达式还可以看出 , a 增 大时 ,ε减少; b 增大时 ,ε增大. 这与吸引/ 排斥函数 设置的初衷完全相符. 评注 3 在以上的证明中 ,由于使用了假设 1 , 以及不等式 x T y ≤‖x ‖·‖y ‖,同时对排斥力也 作了有界性假设 ,因而由以上分析得出的界是非常 保守的. 智能体群体的实际大小应比 Bc 小. 以下给出当环境势能场函数分别为平面和二次 型曲面时系统的行为. 3 群体沿平面和二次型曲面势能场的 运动分析 首先考虑平面场情形 ,在这种情况下 ,令表示环 境信息的势能场函数为 σ( y) = a T σ y + bσ. (9) 式中 : aσ ∈R n , bσ ∈R. 由此易得平面的梯度向量为 ý yσ( y) = aσ ,同时有σ= aσ ,从而由式(7) 与(8) 可以 得到 ε1 = b a + aσ( M + 2 N) a( M + N) 2 ,ε2 = b a + aσΝ a ( M + N) 2 . 取ε= max (ε1 ,ε2 ) ,则由定理 1 知 ,当 t →∞时 ,所有 的智能体将进入并保持在球域 Bε = { x i | ‖x i - x ‖ <ε, i = 1 , …, M + N} 之中. 另外 ,有 x·= - 1 M + N ∑ N i = 1 ý j x σ( x i ) = - N M + N aσ. (10) 由式(10) 可知智能体中心在环境中做作直线运动的 速度大小与智能体数量的多少有关 ,对应于给定的 群体规模具有确定的速度. 稍加分析可知两类智能 体数量的增大都会导致群体运动速度值的减少 ,只 是 follower 数量的变化影响更加明显 ,仿真实例也 证实了这一点. 其次 ,考虑群体沿二次型曲面势能场 的运动 ,在这种情形下 ,令表示环境信息的势能场函 数为 · 82 · 智 能 系 统 学 报 第 1 卷