高等数学教案 第五章定积分 记=max{△t1,△12，·，△1m,当入→0时，取上述和式的极限，即得变速直线运动的路程 S=lim∑v(x)△t. A0扫1 二、定积分定义 抛开上述问题的具体意义，抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括，就抽象 出下述定积分的定义， 定义设函数x)在[a,b)上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点 a=x0<x1<x2<·<xw-1<xw=b, 把区间[a,b]分成n个小区间 [xox],[x1,x2,·,[xl,xn], 各个小段区间的长度依次为 △r1=x1-x0,△x2=x2-x1,·,△xn=xn-xn-l: 在每个小区间x-,x]上任取一个点5：(x-1≤5：≤x),作函数值f(5)与小区间长度△x,的乘积 f(5)△x(i=1,2,,m,并作出和 S=∑fG5)Ax· 记=max{△r1,△2，·，△xn,如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间[x一，x上点5怎 样取法，只要当)→0时，和S总趋于确定的极限L,那么称这个极限I为函数fx)在区间[a,b] 上的定积分（简称积分），记作心fx),即 fx=lim2f传Ax. 元0-1 其中f()叫做被积函数，fx)d叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积 分上限，[a,b]叫做积分区间 根据定积分的定义，曲边梯形的面积为A=fx):. 变速直线运动的路程为S=)d山， 说明： (1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即 f(d=f(d=f(u)du. (2)和2f)△x通常称为f)的积分和。 (3)如果函数f(x)在[a,b]上的定积分存在，我们就说f(x)在区间可[a,b]上可积. 3