1.3 概率及概率模型 1.有限样本空间上的概率 我们想要表示一个事件有多大可能发生，为此，我们给每个事件赋予一个概率。给事件赋概 一般来说并不简单。既然每个事件都要赋予一个概率，我们就称其为概率函数。其应该有如下两 个性质 定义1.3.1.一个有限样本空间2上的概率函数P,赋予2中每个事件A一个0和1之 间的数值P(A),并使得 (1)P(2)=1: (2)若A,B不相容，则P(AUB)=P(A)+P(B) 则P(A)称为是事件A发生的概率。 (1)说明了试验的结果总是样本空间的一个元素。(2)是概率函数的可加性。 例1.31.比如两个人抛硬币公平的决定谁来洗碗，则这种公平性应该转换为正面和反面出现的可 能性均等。从而我们赋予正面和反面出现的概率均为1/2.如果考虑到现实中没有绝对质地均匀的 硬币，比如我们也可以赋予正面出现的概率为0.5001，反面出现的概率为0.4999. 例1.3.2.抛硬币的试验 试验者 掷硬币的次数 正面出现的次数 频率 蒲丰 4040 2048 .5069 皮尔逊 12000 6019 .5016 皮尔逊 24000 12012 .5005 从这个例子可以看出随着试验次数的增加，频率越来越接近1/2， 2.无限的样本空间上的概率比如我们重复的投掷一枚硬币直至出现第一个正面，试验 的结果是直至第一次出现正面时的投掷次数，则样本空间2={1,2，….此试验的概率函 数应该是什么呢？假设此枚硬币正面出现的可能性为p(OP1),则反面为1-p。我们需要 决定P(n)。显然P(1)=p,事件{2}表示{T,H,概率为P(2)=(1-p)p.类似的，我们可以得 到P(n)=(1-p)n-1p,n=1,2,… 那么这样就定义了2={1,2,3，…}上的概率函数了吗？按照以前的定义，应该满足P(2)= 1.但是这个并不容易直接得到：由于样本空间不再是有限的，我们需要修改为如下定义1.3 V«9V«. 1. kÅòm˛V« ·ÇéáL´òáØákıååUu)ßèdß·ÇâzáØáDÉòáV«"âØáDV òÑ5`øÿ{¸"Q,záØá—áDÉòáV«ß·Ç“°ŸèV«ºÍ"ŸATkXe¸ á5ü ½¬ 1.3.1. òákÅòmΩ˛V«ºÍPßDÉΩ•záØáAòá0⁄1É mÍäP(A)ßø¶ (1) P(Ω) = 1¶ (2) eA, BÿÉNßKP(A S B) = P(A) + P(B). KP(A)°è¥ØáAu)V«" (1) `² £(Jo¥òmòáÉ"(2) ¥V«ºÍå\5" ~1.3.1. 'X¸á<M1˙²˚½X5WßK˘´˙²5AT=Üè°⁄á°—yå U5˛"l ·ÇDÉ°⁄á°—yV«˛è1/2. XJƒy¢•vk˝Èü/˛! M1ß'X·Çèå±DÉ°—yV«è0.5001ßá°—yV«è0.4999. ~1.3.2. M1£ £ˆ ïM1gÍ °—ygÍ ™« Æ¥ 4040 2048 .5069 ô÷ 12000 6019 .5016 ô÷ 24000 12012 .5005 l˘á~få±w—ëX£gÍO\ß™«5C1/2. 2. ÃÅòm˛V« 'X·Ç­E›ïòqM1Üñ—y1òá°ß£ (J¥Üñ1òg—y°û›ïgÍßKòmΩ = {1, 2, · · · }. d£V«º ÍAT¥üoQºbdqM1°—yåU5èp (0¡p¡1)ßKá°è1 − p"·ÇIá ˚½P(n)"w,P(1) = pßØá{2}L´{T, H}, V«èP(2) = (1 − p)p.aqß·Çå± P(n) = (1 − p) n−1p, n = 1, 2, · · · @o˘“½¬ Ω = {1, 2, 3, · · · }˛V«ºÍ ̺Uϱc½¬ßAT˜vP(Ω) = 1. ¥˘áøÿN¥Üµduòmÿ2¥kÅß·ÇIá?UèXe½¬ 4