中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 E{S()|N(1)=n}=E{∑(t-S)N(1)=n} 况(t-S,)N()=n}=m-E{∑S nt nt 故: E{S(O)}=∑PN()=nE{∑(-=S)N(O)=n P{N(1)=n} E{N(t)}=t2 例:设一系统在[0,1]内受冲击的次数{N(),t≥0}是参数为λ 的齐次 Poission过程,第k次受冲击的损失为D,其中{D,k≥l} 是独立同分布并与{N(1),t≥0}独立,且损失随时间按负指数衰 减。t=0的衰减为D,经t时刻损失为De"(a>0为常数),设损 失可加,t时刻的总损失为()=∑De,其中S为第k次冲 击到达的时刻,试求Ef() 解:由于 E{5(1)N()=n}=E{∑DeN()=n} E∑De0N(t)=n E{D4|N(1)=n}E{e N =EDe"∑Ee|N(t)=r} 记H,F2…为[0,n上独立同均匀分布的随即变量,则有:中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞 2 2 { ( ) ( ) } { ( ) } { ( ) ( ) } { ( ) ( ) } 1 1 ( ) 1 n t n t n t E t S N t n n t E S N t n E S t N t n E t S N t n n i i n i i N t i i = − = = − = = − = = = − = =    = = = 故： 2 0 0 ( ) 1 2 { ( )} 2 2 { ( ) } { ( )} { ( ) } { ( ) ( ) } E N t t nt t P N t n E S t P N t n E t S N t n n n N t i i  = =  = =  =      = = − =     =  = = 例：设一系统在 [0, t] 内受冲击的次数 {N(t), t  0} 是参数为  的齐次 Poission 过程，第 k 次受冲击的损失为 Dk ，其中 {D , k 1} k 是独立同分布并与 {N(t), t  0} 独立，且损失随时间按负指数衰 减。 t = 0 的衰减为 D ，经 t 时刻损失为 t De− (   0 为常数)，设损 失可加， t 时刻的总损失为 = − − = ( ) 1 ( ) ( ) N t k t S k k t D e   ，其中 Sk 为第 k 次冲 击到达的时刻，试求 E(t)。 解：由于：     = − = − − = − − = − − =  = = = = = = = = = n k t S n k t S k n k t S k N t k t S k ED e E e N t n E D N t n E e N t n E D e N t n E t N t n E D e N t n k k k k 1 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) { ( ) } { ( ) } { ( ) } { ( ) } { ( ) ( ) } { ( ) }       记 Y Y Y n , , , 1 2  为 [0, t] 上独立同均匀分布的随即变量，则有：