费马引理的证明 证明：不妨设xeUx)时，f(x)f(xo),于是，对于x,+△xeU(x,j, 有 f(x+△x)f(x), 从而当Ax>0时，fx+Axf)<0 △x 当Ar0时，f+Arf0. △x 根据函数fx)在x,可导的条件及极限的保号性，便得到 (x)=f:()=limf(x+Ax)-f()0. △x fx,)=fx,)=1im+A)-f220 Ar0 △x 所以 f'(x=0. 有 ( ) ( ) 0 0 f x +Δx ≤ f x ， 根据函数 f ( ) x 在 0 x 可导的条件及极限的保号性，便得到 证明： 不妨设 0 x∈U x( )时， ( ) ( ) 0 f x ≤ f x ，于是，对于 ( ) 0 0 x +Δx∈U x ， 从而当Δx > 0时， 0 ( ) ( ) 0 0 ≤ Δ +Δ −x f x x f x 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 ≤ Δ +Δ − ′ = ′ = → + Δ + x f x x f x f x f x x ， 费马引理的证明 0 0 0 0 0 ( ) () ( ) ( ) lim 0 x fx x fx fx fx x − − Δ → + Δ − ′ ′ == ≥ Δ 当Δx<0时， 0 ( ) ( ) 0 0 ≥ Δ +Δ −x f x x f x . 所以 f ′(x0 )=0