令非齐次方程的特解为 y=C(x)e 代入原方程,确定出C(x)=e”+C 原方程的通解为 5.解积分因子为 原方程的通积分为 (e dy=Cl 6.解由于 MaN,所以原方程是全微分方程 取(x0,y0)=(0,0),原方程的通积分为 (2xy-cosx)dx- dy=C x y-sin x-y=C 7.解原方程是克来洛方程,通解为 8.证明由已知条件可知,该方程在整个xoy平面上满足解的存在惟一及延展定理条件, 又存在常数解y=kx,k=0,±1,±2, 对平面内任一点(x0,y),若y0=kr,则过该点的解是y=k丌,显然是在(-∞,+∞) 上有定义 若yo≠kx,则y∈(kz,(k+1)z),记过该点的解为y=y(x),那么一方面解 y=y(x)可以向平面的无穷远无限延展;另一方面在条形区域 (x,y)-∞<x<+,kπ<y<(k+1nr}内y(x)不能上、下穿过解y=(k+1)和 y=kx,否则与解的惟一性矛盾.因此解的存在区间必为(-∞,+∞)令非齐次方程的特解为 x y C x 3 ( )e − = 代入原方程，确定出 C x C x = + 5 e 5 1 ( ) 原方程的通解为 x y C 3 e − = + 2x e 5 1 5．解 积分因子为 2 1 ( ) x  x = 原方程的通积分为 1 1 0 2 (e )dx dy C x x y y x − + =   即 1 e C, C e C x x y + = = + 6．解 由于 x N x y M   = =   2 ，所以原方程是全微分方程． 取 ( , ) (0, 0) x0 y0 = ，原方程的通积分为 xy x x y C x y − − = 0 0 (2 cos )d d 即 x y − sin x − y = C 2 7．解 原方程是克来洛方程，通解为 2 y = Cx + C 8．证明 由已知条件可知，该方程在整个 xoy 平面上满足解的存在惟一及延展定理条件， 又存在常数解 y = k , k = 0, 1,  2, ． 对平面内任一点 ( , ) 0 0 x y ，若 y0 = k ，则过该点的解是 y = k ，显然是在 (−, + ) 上有定义． 若 y0  k , 则 ( , ( 1) ) y0  k k +  , 记过该点的解为 y = y(x) ，那么一方面解 y = y(x) 可 以 向 平 面 的 无 穷 远 无 限 延 展 ； 另 一 方 面 在 条 形 区 域 {(x, y) −   x  +, k  y  (k +1)} 内 y(x) 不能上、下穿过解 y = (k +1) 和 y = k ，否则与解的惟一性矛盾．因此解的存在区间必为 (−, + ) ．