第十二章期权定价的数值方法 221 票的价格下降到Sd时,期权的回报为f4,如图12.1所示 在第十一章中已经探讨过,期权定价可以在风险中性世界中进行。同样,也可以 在二叉树模型中应用风险中性定价原理为期权定价。 在风险中性世界中,假定股票的上升概率为p,由于股票未来期望值按无风险利 率贴现的现值必须等于该股票目前的价格,因此该概率可通过下式求得 S=e[Sup+ Sd(1-p)] 即 知道了风险中性概率后,期权价格就可以通过下式来求 f=e[pf.+(1-p)f4] (二)证券价格的树形结构 在较大的时间间隔内,上述二值运动的假设当然不符合实际。但是当时间间 隔非常小的时候,比如在每个瞬间,资产价格只有这两个运动方向的假设是可以接 受的。因此,二叉树模型实际上是在用大量离散的小幅度二值运动来模拟连续的 资产价格运动。由统计学原理可知,当N趋于无穷大时,二项分布就趋近于正态 分布。因此当将一段时间分割成足够多的小时间间隔时,二项分布就逼近正态 分布。 应用多步二叉树模型来表示证券价格变化的完整树形结构,如图12.2所示。 图12.2资产价格的树型结构 当时间为0时,证券价格为S。时间为△时,证券价格要么上涨到Sa,要么下 降到Sd;时间为2△t时,证券价格就有三种可能:Snx2、Sad(等于S)和Sd2。以此类 推。一般而言,在t时刻,证券价格有计+1种可能,它们可用符号表示为 Sd-式中j=0,1,… 注意:由于u和d保持不变,许多节点是重合的,从而大大简化了树图