第十章 期权定价的数值法 在第十一章中,我们得到了期权价值所满足的偏徽分方程,并解出了特定条件下 的期权解析定价公式。但在很多情形中,无法得到期权价值的解析解,这时人们经常 采用数值方法( numerical procedures)为期权定价,主要包括二叉树方法( binomial tres)、蒙特卡罗模拟( Monte Carlo simulation)和有限差分方法( finite difference methods)。本章将介绍如何借助上述三种数值方法来为期权定价。为了便于表达, 本章中统一假设当前时刻为零时刻 第一节二叉树期权定价模型 叉树期权定价模型由考克斯(J.C.Cox)、罗斯(S.A.Ross)和鲁宾斯坦 (M. Rubinstein)于1979年首先提出,已经成为金融界最基本的期权定价方法之 ①,其优点在于比较简单、直观,不需要太多的数学知识就可应用。 、二叉树模型的基本方法 二叉树图方法用离散的模型模拟资产价格的连续运动,利用均值和方差匹配来 确定相关参数,然后从二叉树图的末端开始倒推可以计算出期权价格。 (一)单步二叉树模型 为了由浅入深地介绍二叉树模型,先介绍单 步二叉树模型 假设一个无红利支付的股票,当前时刻t股票S 价格为S,基于该股票的某个期权的价值是f,期 权的有效期是T。在这个有效期内,股票价格或者 上升到Su,或者下降到Sd(u>1,d<1)。当股票 价格上升到Su时,假设期权的回报为f,如果股图12.1股票价格和期权价格 O Cox J C, Ross S A, Rubinstein M. Option pricing: a simplified approach[J] Journal of Financial Eco- nomics,1979,10(7)
第十二章期权定价的数值方法 221 票的价格下降到Sd时,期权的回报为f4,如图12.1所示 在第十一章中已经探讨过,期权定价可以在风险中性世界中进行。同样,也可以 在二叉树模型中应用风险中性定价原理为期权定价。 在风险中性世界中,假定股票的上升概率为p,由于股票未来期望值按无风险利 率贴现的现值必须等于该股票目前的价格,因此该概率可通过下式求得 S=e[Sup+ Sd(1-p)] 即 知道了风险中性概率后,期权价格就可以通过下式来求 f=e[pf.+(1-p)f4] (二)证券价格的树形结构 在较大的时间间隔内,上述二值运动的假设当然不符合实际。但是当时间间 隔非常小的时候,比如在每个瞬间,资产价格只有这两个运动方向的假设是可以接 受的。因此,二叉树模型实际上是在用大量离散的小幅度二值运动来模拟连续的 资产价格运动。由统计学原理可知,当N趋于无穷大时,二项分布就趋近于正态 分布。因此当将一段时间分割成足够多的小时间间隔时,二项分布就逼近正态 分布。 应用多步二叉树模型来表示证券价格变化的完整树形结构,如图12.2所示。 图12.2资产价格的树型结构 当时间为0时,证券价格为S。时间为△时,证券价格要么上涨到Sa,要么下 降到Sd;时间为2△t时,证券价格就有三种可能:Snx2、Sad(等于S)和Sd2。以此类 推。一般而言,在t时刻,证券价格有计+1种可能,它们可用符号表示为 Sd-式中j=0,1,… 注意:由于u和d保持不变,许多节点是重合的,从而大大简化了树图
222金融工程 (三)参数的确定 在建立二叉树的过程中,最重要的是参数p和d的确定。那么,到底应该根 据什么标准来确定这些参数呢? 我们知道,衡量证券价格的树型结构好坏的标准是它能否逼近证券价格的真实 分布。因此,和d的确定必须与证券价格的漂移率(A)与波动率(a)相吻合。中 在风险中性世界中,若期初的证券价格为S,则在很短的时间间隔△t末的证券 价格期望值应为Se。因此,参数p、a和d的值首先必须满足这个要求,即 Sea=p+(1-p)Sd (12.1) 此外,根据第十一章的讨论,当股票价格遵循几何布朗运动时,在一个小时 间段△内股票价格变化的方差为S2△t。根据方差的定义,变量Q的方差等于 E(Q)-[E(Q)]2,因此 S°a2△=pS2a2+(1-p)S2a2-Sp+(1-p)d o2△t=pa2+(1-p)d2-[pa+(1-p)d]2 2.2) 式(121)和(122)给出了计算p、v和d的两个条件。第三个条件的设定则可 能各自不同,考克斯、罗斯和鲁宾斯坦所用的条件是 (12.3) 从以上三个条件求得,当△t很小 (12.4) (12.5) 也可以用二叉树模型来刻画现实世界中股票价格的变化过程,只要把公式 (12.4)中的r改为就可以了 (四)倒推定价法 得到每个节点的资产价格之后,就可以在二又树模型中采用倒推定价法,从树型 结构图的末端T时刻开始往回倒推,为期权定价。由于在到期T时刻的预期期权价 值是已知的,例如看涨期权价值为max(Sr-X,0),看跌期权价值为max(X-Sr,0), 因此在风险中性条件下在求解T-△t时刻的每一节点上的期权价值时,都可通过将 T时刻的期权价值的预期值在△t时间长度内以无风险利率贴现求出。同理,要求解 T-2△t时的每一节点的期权价值时,也可以将T-△t时的期权价值预期值在时间 △t内以无风险利率贴现求出。以此类推。采用这种倒推法,最终可以求出零时刻 当前时刻)的期权价值 以上是欧式期权的情况。如果是美式期权,在每个时点先用与欧式期权同样 ①这是二叉树模型中最常用的第三个条件,后文将会谈到对第三个条件的其他设定方法
第十二章期权定价的款值方法223 的贴现法根据下一个时点的期权价值算出本节点的期权价值,然后与在该时刻提 前执行期权可以得到的收益(如看涨期权为S-X)进行比较,取两者中的较大者 作为本节点的期权价值。案例12.1给出了一个用二叉树给美式看跌期权定价的 例子 【案例12.1】 美式看跌期权的二叉树定价 假设标的资产为不付红利殷票,其当前市场价为50元,波动率为每年40%, 无风险连续复利年利率为10%,该股票5个月期的美式看跌期权协议价格为50 元,求该期权的价值 为了构造二叉树,把期权有效期分为五段,每段一个月(等于0.0833年)。 根据式(12.4)到(12.6),可以算出 4=e=1.1224 eva=0,8909 =0.5076 1-p=0.4924 据此,可以画出该股票在期权有效期内的树形图,如图12.3所示。在每个节 56.12 448 453.7045265 695 6.37 10.35 536 2807 213 能油 图12.3不付红利股票美式看跌期权二又树 吊去异道中两划,登出(产关)对便对
224 金融工程 点处有两个值,上面一个表示股票价格,下面一个表示期权价值。股价上涨概率 总是等于0.5076,下降概率总是等于0.4924 在i△t时刻,股票在第j个节点(j=0,1,…,的价格等于Svd“。例如,F 节点(i=4,=1)的股价等于50×1.1224×0.8909=39,69元。在最后那些节 点处,期权价值等于max(X-Sx,0)。例如,节点(=5,j=1)的期权价格等于 50-35.36=14.64元 从最后一列节点处的期权价值可以计算出倒数第二列节点的期权价值。首 先,假定在这些节点处期权没被提前执行。这意味着所计算的期权价值是△时间 内期权价值期望值的现值。例如,E节点(i=4,j=2)处的期权未被执行时的期权 价值等于 (0.5076×0+0.4924×5.45)e13=2.66(元) 而F节点处期权未被执行时的期权价值等于 (0.5076×5.45+0.4924×14.64)e01×03=9,90(元) 然后,要检查提前执行期权是否较有利在E节点,提前执行将使权价值 为0,因为股票市价和协议价格都等于50,显然不应提前执行。因此,E节点的期 权价值应为2.66元。而在F节点,如果提前执行,期权价值等于50.00,39.69 元,为10.31元,大于上述的9.90元。因此,若股价到达F节点,就应提前执行 期权,从而F节点上的期权价值应为10.31元,而不是9.90元 用相同的方法可以算出各节点处的期权价值,并最终倒推算出初始节点处 的期权价值为4.48元 如果把期权有效期分成更多小时段,节点数会更多,计算会更复杂,但得出 的期权价值会更精确。当△t非常小时,期权价值等于4.29元 (五)二叉树方法的一般定价过程 下面给出用数学符号表示的二叉树期权定价方法,仍然以无收益证券的美式看 跌期权为例。假设把该期权有效期划分成N个长度为△t的小区间,令f(0≤运≤ N,0≤j≤i)表示在时间it时第j个节点处的美式看跌期权的价值,将f称为节点 (i,j)的期权价值。同时,用Snd表示节点(i,y)处的证券价格。由于美式看跌期 权在到期时的价值是max(X-Sr,0),所以有 f=max(X-Sad-,0),式中j=0,1,…,N 假定在风险中性世界中从节点(,)移动到节点(i+1,+1)的概率为p移动到 (i+1,j)的概率为1一p。假定期权不被提前执行,则节点(,)的期权价值为: f。=e[pf41,+1+(1-p)f+1,] 式中,0≤i≤N-1,0≤j≤i。由于美式期权有可能被提前执行,因此式中这样求出的 f必须与该节点提前执行期权的收益(X-Sud-)比较,并取两者中的较大者
第十二章期权定价的数值方法225 因此 f6=max{X-Sd,e"a[pf,+1,+1+(1-p)f+1,1 按这种倒推法计算,当时间区间的划分趋于无穷大,或者说当每一区间△t趋于 0时,就可以求出美式看跌期权的准确价值。根据实践经验,一般将时间区间分成30 步就可得到较为理想的结果 (六)有红利资产期权的定价 1.支付连续红利率资产的期权定价 当标的资产支付连续收益率为q的红利时,在风险中性条件下,证券价格的增长 率应该为r-q,因此式(12.1)就变为 eroa=pu+(1-p)d 同时,式(12.4)变为 4p=m乙 式(125)和(12.6)仍然适用。1 2.支付已知红利率资产的期权定价 若标的资产在未来某一确定时间将支付已知红利率8(红利与资产价格之比) 只要调整在各个节点上的证券价格,就可算出期权价格。调整方法如下 如果时刻i△t在除权日之前,则节点处证券价格仍为 如果时刻边t在除权日之后,则节点处证券价格相应调整为 (1-8)ud 对在期权有效期内有多个已知红利率的情况,也可进行同样处理。若δ(k=1, 2,…K)为0时刻到i△t时刻之间第k个除权日的红利支付率,则i△t时刻节点的相 应的证券价格为 SIIk(1-8,u'd'-j 3.支付已知数额红利资产的期权定价 若标的资产在未来某一确定日期,将支付一个确定数额的红利而不是一个确定 的比率,则除权后二叉树的分支将不再重合,这意味着所要估算的节点数量可能变得 很大,特别是如果支付多次已知数额红利的情况将更为复杂(见图12.4)。 为了简化这个问题,可以把证券价格分为两个部分:一部分是不确定的,而另 部分是期权有效期内所有未来红利的现值。假设在期权有效期内只有一次红利,除 息日τ在kΔt到(k+1)△t之间,则在i△t时刻不确定部分的价值S’为 S'(i△t)=S(i△t), 当i△t>τ时 S'(i△t)=S(i△)-De“,当i△t≤τ时 式中,D表示红利。设a为S的标准差,假设a是常数,用代替式(12.4)到 (12.6)中的a就可计算出参数pt和d,这样就可用通常的方法构造出S的二叉树
226 金融工程 SuD KS-D τ时,这个树上每个节点对应的证券价格为 So u'd 这种方法,与曾经分析过的在已知红利数额的情况下应用布莱克-舒尔斯-默顿 公式中所用的方法一致。通过这种分离,可以重新得到重合的分支,减少节点数量, 简化了定价过程。同时,这种方法还可以直接推广到处理多个红利的情况。 、构造树图的其他方法和思路 (一)p=0.5的二叉树图 在式(12.1)到(12.3)中,前两个等式是确定参数p、和d的固定条件,而第三 个条件=a是人为给定的,也是最常用的条件,但它并不是唯一的。也可以放弃这 个假设,转而令p=0.5,当△t的高阶小量可以忽略时得到 这种方法的优点在于,无论a和△如何变化,概率总是不变;缺点在于,二叉树 图中的中心线上的标的资产价格不会再和初始中心值相等。 (二)三叉树图 另一种替代二叉树图的方法是三叉树图法,该树图的形状如图12.5所示。在每 一个时间间隔△内证券价格有三种运动的可能:从开始的S上升到原先的u倍,即 到达Su;保持不变,仍为S;下降到原先的d倍,即Sd。p、pm、pa分别为每个节点
第十二章期权定价的数值方法 227 图12.5资产价格的三叉树图 价格上升、持平和下降的概率。当△t的高阶小量可以忽略时,满足资产价格变化均 值和方差的参数分别为 d 1 d2)+1 12=(-q-2) √份(-q-2)+b Pm=. 三又树图的计算过程与二叉树图的计算过程相似。可以证明:三叉树图的方法 与本章第三节将要介绍的显性有限差分方法是一致的。 (三)控制方差技术 控制方差技术是数值方法的一个辅助技术,可以应用在二叉树模型、蒙特卡罗模拟 和有限差分方法上。其基本原理为:期权A和期权B的性质相似(比如其他条件都相 同的欧式期权和美式期权,以及将在第十六章中谈到的几何平均亚式期权和算术平均 亚式期权),可以得到期权B的解析定价公式,而只能得到期权A的数值方法解,这时 就可以利用期权B解析法与数值法定价的误差来纠正期权A的数值法的定价误差。 用f代表期权B的真实价值(解析解),表示关于期权A的较优估计值, 和fB表示用同一个二叉树、相同的蒙特卡罗模拟或是同样的有限差分过程得到的 估计值。这时,假设用数值方法计算出的期权B的误差,应等于用数值方法计算出 的期权A的误差: fB-fB=fa-fa 进而得到期权A的更优估计值为
28金融工的球一十 可以证明,当f和f之间的协方差较大时,var(f)<var(f),也就是说, 这个方法减少了对期权A的价值估计的方差,利用fB和fB的信息改进了对期权A 的价值估计。 可以看出,控制方差技术实际上是利用数值方法计算两个类似期权之间的价格 差异,而不是计算期权价格本身。虽然从计算工作量来看,需要计算两个估计值fA 和fB,但是由于两个期权的性质相似或路径相同,实际增加的工作量并不大。 四)适应性网状模型 菲格鲁斯基( Figlewsk)和高(Gao)①提出了一种适应性网状模型( the adaptive mesh model来改进数值估计方法的效率。此方法是:在使用三叉树图为美式期 权定价时,在临近到期的执行价格附近,用高密度的树图来取代原先低密度的树 图。即在树图中那些对是否执行期权比较敏感的价格附近,将一个时间步长△r 进一步细分,如分为4,每个小步长仍然采用相同的三叉树定价过程,这样使得 树图更好地反映了实际情形,从而大大提高定价的效率和精确程度 第二节蒙特卡罗模拟 蒙特卡罗模拟,是一种通过模拟标的资产价格的随机运动路径得到期权价值期 望值的数值方法,也是一种应用十分广泛的期权定价方法。由于风险中性定价法可 以使问题大大简化,因此主要介绍在风险中性世界中的蒙特卡罗模拟。其基本原理 也适用于现实世界。 、蒙特卡罗模拟的基本过程 在风险中性世界中,蒙特卡罗模拟期权定价法的基本思路是:由于大部分期权 如欧式期权)价值等于期权到期回报的期望值的贴现,因此先模拟风险中性世界中 标的资产价格的多种运动路径,然后计算所有路径结果下的期权回报均值,最后用无 风险利率贴现就可以得到期权价值 以一个简单的欧式期权f(S,2)(即只有两个状态变量资产价格S和时间x,且 利率为常数)为例,可以说明蒙特卡罗模拟的基本方法 (1)从初始时刻的标的资产价格开始,直至到期为止,为S取一条在风险中性 世界中跨越整个有效期的随机路径。这是众多路径中的一条。 (2)计算出这条路径下期权的回报。 o Figlewski S, Gao B, The adaptive mesh model: a new approach to efficient option pricing[]. Journal of Fi nancial Economics, 1999, 531313-351
第十二章期权定价的数值方法 229 (3)重复第一步和第二步,得到许多样本结果,即风险中性世界中期权回报的大 量可能取值 (4)计算这些样本回报的均值,得到风险中性世界中预期的期权回报值。 (5)用无风险利率贴现,得到这个期权的当前估值 二、蒙特卡罗模拟的技术实现 (一)随机路径 我们已经知道,在风险中性世界中,服从几何布朗运动且连续收益率为q的标的 资产价格所遵循的随机过程可以写作 ds=-(r-q)Sdt+oSdzo (12.7) 也可以写作 dtad (12.8) 为了模拟S的路径,把期权的有效期分为N个长度为△t的时间段,则式(12.7) 和(12.8)的近似方程分别为 S(t+△)-S(t)=(r-q)s(t)△t+s(t)e√△t (12.9) InS(t+At)-InS(t)=(r-q- (12.10) 式(12.10)还可写为 S(t+△)=S(t)expr-q △t+ce√△t (12.11) 式中,S()代表t时刻S的价值,是从标准正态分布中抽取的一个随机样本。 因此,蒙特卡罗模拟就是离散地模拟资产价格S的时间序列,这样,只要得知初 始时刻的S值,随机抽取一个ε,就能算出△t时刻的S值;接着2△时的S值又能从 △t时的S值计算得到。因此,通过N个正态分布的随机取样就可以组建一条资产 价格的蒙特卡罗模拟样本路径,并得到相应的回报值。重复以上的模拟至足够大的 次数,计算回报值的平均值,折现后就得到了期权的估值,另外也可以顺便得到所估 计期权价值的标准差。 在以上两种模拟路径中,用lnS比用S本身更准确。使用式(12.9)模拟会存在 △t的高阶小项o(△t)的误差,仅仅在△t→0时是完全正确的。但是式(12.10)或 (12.11)却是精确的,因而对于所有的△都是正确的。特别地,当用蒙特卡罗模拟为 欧式期权定价时,由于期权回报只与期权到期时刻的股票价格有关,与具体路径无 关,因此就可以让t+△t=T并直接利用公式(12.11)来求T时刻的股票价格。这样 可以大大节省计算时间。 ①注意:只要波动率是确定性函数而非随机变量在风险中性世界中和在现实世界中,资产的波动率a是 样的,改变的只是资产的预期收益率
