函个中 第七章 互换的定价与风险分新 互换,既可以分解为债券的组合,也可以分解为一系列远期协议的组合。根据这 思路就可以对互换进行定价。与互换相联系的风险主要包括信用风险与市场 风险。 从第六章中已知,由于利率基准不同、现实市场中的互换在天数计算上存在一些 变化以及交易对手可能发生违约,因此互换的现金流是不确定的。为了集中讨论互 换的定价原理,在本节中计算时忽略天数,3个月以年计,半年以年计,一年以1 年计一面,一中 同时,根据国际市场上的惯例,在给互换和其他柜台交易市场上的金融工具定价 时,现金流通常用 LIBOR贴现。这是因为 LIBOR反映了金融机构的资金成本。这 样做的隐含假设,是被定价的衍生工具的现金流风险与银行同业拆借市场的风险相 同。由于国内互换市场刚刚起步,这里仍然以国际市场上的利率互换与货币互换为 例讨论互换的定价原理,故此使用 LIBOR作为贴现率。 ,平想第一节利率互换的定价 、利率互换定价的基本原理 考虑一个2011年9月1日生效的两年期利率互换,名义本金为1亿美元。甲银 行同意支付给乙公司年利率为2.8%的利息,同时乙 公司同意支付给甲银行3个月期LBOR的利息,利[甲银行28%乙公司 LIBOR 息每3个月交换一次,如图3所示 2011年9月1日互换协议签订时,交易双方并 图7.1甲银行与乙公司的 利率互换 不知道未来的二系列3个月期1BOR,假设事后得 ①由于利率互换和货币互换是最主要的互换品种,本章主要讨论这两类互换交易的定价与风险管理 问题
第七章互换的定价与风险分析 123 知此两年中的3个月期LBOR如表7.1(a)中的列(1)所示,从而可以得到甲银行在 此互换中每半年收到的浮动利息、支付的固定利息与净现金流,分别如表7.1(a)中 的列(2)、列(3)与列(4)所示。 表7.1利率互换中甲银行的现金流置表(百万美元) (a)不考虑名义本金1 日期 1BOR(%)浮动利息现金流固定利息现金流净现金流 2011,9,1 1.12.1( +0.53 2012.3.1(Ⅱ) 2012.6.1(Ⅲ) +0.67 2012.9.1(Ⅳ) 3.27 +0.74 +0.04 2012.12.1(V) +0.8 +0.12 2013.3.1(Ⅵ) +0.91 +0.21 20136.1(Ⅶ) 4.12 +0.97 +0.27 2013.9.1(Ⅷ) 4.75 1+1.03 +0.33 (b)考虑名义本金 日期 IBORO %)浮动利息和本金一固定利息和本金净现金流 现金沉(6) 现金流(7) 2011.9.1 2 ÷100 +100 2011.12.1(I) +0.53 2012.3.1(Ⅱ) 0.62 2012.6.1(m) 294 +0.67 2012.9.1(Ⅳ)3.271 +0.74 0.7 +0.0 2012.12.1(v) +0.82 0.7 +0.12 013.3.1(Ⅵ) +0.91 +0.21 2013.6.1(Ⅶ) 4 0 +0.27 2013:9.1(Ⅷ)4.751+1.03 0.7 +0.33 +100
24 金融工程合章少 6观察表7.1(a),可以从三个角度来理解该利率互换;民个三中非两当 中(1)该利率互换由列(4)的净现金流序列组成,这是互换的本质,即未来系列现 金流的组合。 (2)如果对列(4)的现金流按列进行拆分,该利率互换可以看做由列(2)和列(3) 的现金流序列组成。为了更好地理解,假设在互换生效日与到期日增加1亿美元的 本金现金流,列(2)和列(3)转化为表7.1(b)的列(6)与列(7)。从列(8)可见,由于相 互抵消,增加的本金现金流并未改变互换最终的现金流和互换的价值,但列(6)却可 以被视为甲银行向乙公司购买了一份本金1亿美元的以3个月期 LIBOR为浮动利 率的债券,列(7)则可以被看做甲银行向乙公司发行(出售)了一份本金1亿美元的固 定利率为2.8%的债券,3个月支付一次利息。这样,对甲银行而言,该利率互换事实 上可以看做一个浮动利率债券多头与固定利率空头头寸的组合,这个利率互换的价 值就是浮动利率债券与固定利率债券价值的差。由于互换为零和游戏,对乙公司来 说,该利率互换的价值就是固定利率债券价值与浮动利率债券价值的差。也就是说 利率互换可以通过分解成一个债券的多头与另一个债券的空头来定价。 (3)如果对列(4)的现金流按行进行拆分,该利率互换可以看做由从行(I)至行 (Ⅷ)共8次的现金流序列组成。观察各行,除了行(I)的现金流在互换签订时就已 经确定,其他各行的现金流都类似远期利率协议(FRA)的现金流。回忆在第三章与 第五章中所学的知识,FRA是这样一笔合约:交易双方事先约定将来某一时间一笔 借款的利率。但在FRA执行的时候,支付的只是市场利率与合约协定利率的利差。 如果市场利率高于协定利率,贷款人支付给借款人利差,反之由借款人支付给贷款人 利差。所以实际上FRA可以看成一个用事先确定的固定利率交换市场利率的合 约。很明显,利率互换可以看成是一系列用固定利率交换浮动利率的FRA的组合。 例如,行(Ⅱ)的利息交换可以看做是一笔2012年3月1日到期,以2.8%交换2011 年12月1日确定的3个月期 LIBOR的FRA,行(V)则是一笔2012年12月1日到 期,以2.8%交换2012年9月1日确定的3个月期 LIBOR的FRA。从这个角度来 说,利率互换可以通过分解成一系列远期利率协议的组合来定价。只要知道组成利 率互换的每笔FRA的价值,就可以计算出利率互换的价值。 由上可见,利率互换既可以分解为债券组合,也可以分解为FRA的组合进行定 价。由于都是列(4)现金流的不同分解,在不考虑不同产品的信用风险和流动性风险 差异的情况下,这两种定价结果必然是等价的。在下文的例子中,也将看到这一点。 显然,无论是计息天数比较复杂还是付息频率有所不同,都不影响上述运用债券 组合或FRA组合来给利率互换定价的基本原理。 具体来看,与远期合约相似,利率互换的定价有两种情形。第一,在协议签订后 的互换定价,是根据协议内容与市场利率水平确定利率互换合约的价值。对利率互 换协议的持有者来说,该价值可能是正的,也可能是负的。第二,在协议签订时,一个 公平的利率互换协议应使得双方的互换价值相等。也就是说,协议签订时的互换定
第七章互搡的定价与风险分析125 价,就是选择一个使得互换的初始价值为零的固定利率。下面分别进行介绍 二、协议签订后的利率互换定价个实 (-)运用债券组合给利率互换定价 一个)求的 定义 Ba为互换合约中分解出的固定利率债券的价值。 Bn为互换合约中分解出的浮动利率债券的价值。 对于互换多头,也就是固定利率的支付者(如上例中的甲银行)来说,利率互换的 价值就是 V换=Bn-B 反之,对于互换空头,也就是浮动利率的支付者(如上例中的乙公司)来说,利率 互换的价值就是 Vxa=Bix-Ba 这里固定利率债券的定价公式为 Bm=∑kew+Ae (7.3) 式中,A为利率互换中的名义本金额,为现金流交换日交换的固定利息额,n为交 换次数,为距第i次现金流交换的时间长度(1≤i≤n),则为到期日为t的 LIBOR连续复利即期利率。显然固定利率债券的价值就是未来现金流的贴现和。 这里为了与全书保持一致,使用了连续复利的贴现计算方式。 浮动利率债券的定价公式则为 Bn=(Atk') 1 (7.4) 式中,k为下一交换日应交换的浮动利息额(这是已知的),距下一次利息支付日则 还有t1的时间。 理解公式(7.4)并不难。在浮动利率始终等于该债券的合理贴现率的条件下, 第一,在浮动利率债券新发行时,该债券的价值就等于它的面值;第二,在任一重 新确定利率的时刻,付息之后的浮动利率债券价值就等于新发行的同期限的浮动 利率债券面值,付息之前的浮动利率债券价值就等于面值A加上应付利息k”;第 三,根据证券定价的一般原理,在不考虑流动性因素的情况下,选定证券存续期内 的任一时点,证券的价值等于该时刻的证券价值加上现在到该时点之间现金流的 贴现值。在为浮动利率债券定价时,选定下一个付息日为未来时点,这样就得到了 公式(7.4)。 案例7.1给出了一个运用债券组合给利率互换定价的例子
金融工 【案例7 利率互换的定价:运用债券组合边 假设在一笔利率互换协议中,某一金融机构支付3个月期的LBOR,同时收 取4.8%的年利率(3个月计一次复利),名义本金为1亿美元。互换还有9个月 的期限。目前3个月、6个月和9个月的 LIBOR(连续复利)分别为4.8%、5%和 5.1%。试计算此笔利率互换对该金融机构的价值。 在这个例子中,k=120万美元,因此 B==120e0%￥12080×+101200×07=9975.825(万美元) 由于互换刚好还有9个月的期限,处于重新确定利率的时刻,因此Bn 10000(万美元) 因此,对该金融机构而言,此利率互换的价值为 9975.825-10000=-24.175(万美元) 显然,对该金融机构的交易对手来说,此笔利率互换的价值为正,即24.175 万美元。 (二)运用远期利率协议给利率互换定价 根据式(5.14),对于收取固定利息的交易方,FRA的定价公式为 [Ae'kr-n-Aer-DJe 更确切地理解,t时刻FRA的价值等于约定利率rk与T至T时刻远期利率rp 差异导致的息差现值。因此,要运用FRA给利率互换定价,只要知道利率期限结 构,从中估计出FRA对应的远期利率与息差现值,即可得到每笔FRA的价值,加总 就可以得到利率互换的价值。案例7.2就案例7.1中的相同情形给出了运用FRA 定价的计算过程。可以看到,两种方法确定的互换价值是相等的。 么【案例7.2】 利率互换的定价:运用FA组合 电面长 假设在一笔利率互换协议申,某一金融机构支付3个月期的 LIBOR,同时收 取8%的年利率(3个月计一次复和,名义本会为亿美元,互换还有9个 的期视、目前3个月、6个月和个月的1BOR(连续复利)分别为48%、5%和 5,1%。试计算此笔利串互换对该金融机构的价值 根据案例7,1中的情形,用表,2列示了具体的计算过程。为了与公式一 致,表中的利率均为连续复利。其中,3个月计一次复利的4.8%对应的连续复利 利率分别为 =4.77%
第七章互换的定价与风险分析 127 表7.2运用FRA组合给利率互换定价(万美元) 贴现率利率 远期利率 现金流或FRA价值 3个 10000×(em4x,2一e% 月后/4.8%4.7714% Xe-4axxo N =0.715 6个 5%×0.5-4.8%×0.25 5%4.714% 0.25 23=100x) 月后 10.581 个 5%x075=5%×05=100 月后 61%4714% e“5i1%×0节5=-12.88 互换 价值 显然,这个结果与案例7.1中运用债券组合定出的利率互换价值-24.175 万美元是一致的,10美元的差异则是连续复利与普通复利之间转换时四舍五 入导致的。 、协议签订时的利率互换定价 在案例7.1与7.2中,已经解释了如何使用债券组合和FRA组合的方法为一个 已经存在的利率互换定价。下面通过案例7.3来说明利率互换签订当日的定价问 题,即如何确定互换协议中的固定利率。由于债券组合方法与FRA组合方法本质 上是一致的,在案例7.3中仅运用债券组合方法为利率互换定价 【案例7.3】 确定利率互换协议中的固定利率:运用债券组合 假设在一笔2年期的利率互换协议中,某一金融机构支付3个月期的 LIBOR 同时每3个月收取固定利率(3个月计一次复利),名义本金为1亿美元。目前3个 月、6个月、9个月、12个月、15个月、18个月、21个月与2年的贴现率(连续复利)分 别为4.8%、5%、5,1%、5.2%、5.15%、5.3%、5.3%与5.4%。第一次支付的浮动 利率即为当前3个月期利率4.8%(连续复利)。试确定此笔利率互换中合理的 定利率 利率互换中各理固定利率的选择应使得利率互换的价值为零,即B1=Bm 在这个例子中,B=10(万美元)
128 金融工程“的正 令 B一++c四++ 令m++(010美元 可以求得k=543美元,即固定利率水平应确定为5.43%(3个月计一次复利)。 从案例7.3可以看出,利率互换协议中合理的固定利率就是使得互换价值为零 的利率水平,也就是通常所说的互换利率。由于互换市场实行做市商制度,而且计息 频率等往往有所变化,现实中的互换利率往往是市场以一定的计息频率为基础、就特 定期限形成的互换中间利率。以美元为例,市场通常将每半年支付固定利息对3个 月浮动 LIBOR的互换中间利率作为美元互换利率 根据案例7.3,我们可以推导出互换利率的确定公式。假设利率互换的互换周 期为每半年一次,互换利率为r,在契约期间共互换n次。则契约到期日可视为n/2 年,固定利率债券的价值Bn在t=0时为 Bn=100(7,/2)(e-nx+e2×+e×号+…+e-“*)+1006-x量 而Bn=100。令两者相等并整理可得(其中t表示次数) 2(1 (7.5) 美元互换利率与美元 LIBOR及欧洲美元期货利率有着本质的联系。由于互换合 约多头等于固定利率债券空头加浮动利率债券多头,在签订合约时其价值应为零,也就 是此时两个债券的价值相等。其中,固定利率债券的票面利率就是互换利率,浮动利率 债券的利率就是 LIBOR。因此互换利率与 LIBOR存在着内在的联系。从互换利率与 欧洲美元期货利率的关系来看,市场交易者通常使用欧洲美元期货对冲利率互换中的 市场风险。以5年期利率互换为例,互换多头可以通过买入20份分别于3个月、6个 月、9个月等每隔3个月直至5年后到期的欧洲美元期货来对冲利率互换中的浮动利 率风险,从而基本锁定互换利率。也就是说互换利率与欧洲美元期货利率存在着内在 的联系。总之,由于主要在银行间市场上报价,互换利率中所蕴涵的违约风险和流动性 风险与 LIBOR相当接近。而欧洲美元期货利率虽然是在期货交易所形成的,是世界上 交易最活跃的金融产品之一,其违约风险和流动性风险都低于 LIBOR和互换利率,但 总的来看,由于都与 LIBOR挂钩,这三种利率之间存在着天然的内在联系 基于上述密切联系,加上所覆盖的时间期限不同, LIBOR、欧洲美元期货利率与 美元互换利率常常互相补充,形成市场中所称的“互换利率期限结构”或“互换收益率 曲线”( the term structure of swap rate or the swap curve).一般来说,1年以下的短 期期限通常使用 LIBOR,中期期限常常使用欧洲美元期货利率中隐含的即期利率
第七章互热的定价与风险分析 长期期限则一般使用美元互换利率中隐含的即期利率0。其中,中期与长期的划分 从2至4年不等 近年来,美元互换收益率曲线在市场中的作用日益重要。众所周知,美元无风险 利率期限结构是根据美国国债和国库券价格信息构造的,互换收益率曲线则主要是 基于银行间市场报价形成的,这两者的差异被称为互换价差( swap spread),主要体 现了银行间市场的信用风险与流动性风险。因此,互换曲线不是一个无风险的利率 期限结构。但与国债利率期限结构相比,互换曲线有其自身的突出优势:①如图6.5 所示,利率互换在很多到期期限上均有活跃的交易,而美国国债只在1年、2年、3年、 5年、7年、10年、15年、20年和30年9个关键期限上有较大的交易量,这使得互换 曲线能够提供更多到期期限的利率信息;②新的互换会在市场上不断地产生,这使得 待定到期日的互换利率具有延续性,几乎每天都可以估计出特定到期日的互换利率, 而待定期限国债利率则往往只有在国债新发行之后才能更新,以发行期限进行循环, 例如30年国债利率只有在每次的30年国债发行日才能准确估计;③互换是零成本 合约,其供给是无限的,不会受到发行量的制约,而国债则由于供给的制约会产生新 发行( on the run)与以前发行的证券( off the run)价格的差异,进而对利率产生影响。 此外,对许多银行间的金融衍生产品来说,与无风险利率相比,互换利率由于反映了 其现金流的信用风险与流动性风险,是一个更好的贴现率基准。上述原因决定了美 元互换收益率曲线成为市场中重要的利率期限结构,影响日益显著 在我国,浮动端利率除了 SHIBOR外,还有回购利率和定期存款利率。这样,浮 动端利率与贴现利率就可能不同。当浮动端利率与贴现率不同时,互换利率就不是 平价到期收益率,而是浮动端利率即期和远期利率的加权平均数,权重取决于贴现率 的期限结构。以两期为例(假定一年互换一次现金流),根据固定端现值等于浮动端 现值的基本原理,我们有: 整理后可得 .1-2.7 式中,,为互换利率,为1年期浮动端利率,r/2则为1年至2年的远期浮动端利 率。n为1年期贴现率,2为2年期贴现率。 我国基于7天回购利率的利率互换就属于这种情形。该互换的贴现率应为银行 间市场相应期限的同业拆放利率它与7天回购利率显然不同。这样,利用式(7.6 就可以考察该互换利率、7天回购利率和银行同业拆放利率之间的关系 五市距 ①从案例7.3中可以看出,互换利率实际上是付息票债券的平价到期收益率,并非即期利率,故此在构造 互换利率期限结构时,需要从平价到期收益率信息中提取出相应期限的即期利率。所谓平价到期收益率,是指 在当前即期利率期限结构下,使得附息票债券价格等于面值的票面利率
130 金融工程 围中,中 第二节货币互换的定价 风送美联众,重益日中曲率 3下、货币互换定价的基本原理 生 与利率互换类似,货币互换也可以分解为债券的组合或远期协议的组合,只是这 的债券组合不再是浮动利率债券和固定利率债券的组合,而是一份外币债券和一 份本币债券的组合,远期协议也不再是 FRA,而是远期外汇协议。 1000万英镑 假设甲银行和乙公司之间签订的一份5 000万美元 效。如图72所示,协议规定本金分别是[甲银行,6%的英傍利息 年期货币互换协议,在2011年10月1日生 43%的美元利乙公司 2000万美元和1000万英镑,期初甲银行以 1000万英镑 2000万美元与乙公司交换1000万英镑本 金,其后甲银行每年向乙公司支付6%的英 2000万美元 镑利息并向乙公司收取4.5%的美元利息, 图7.2甲银行和乙公司的 期末本金再次交换。表7.3给出了甲银行 货币互换流程图 的现金流。 表7.3货币互换中甲银行的现金流量表(百万美元或英镑) 美元现金流 英镑现金流 日期 2011.10.1 10.00 2012.10.1 +0.9 2013.10.1 +0.9 0.6 +0.9 0.6 2015.10.1 +0.9 0.6 2016.10.1 +20.9 显然,与利率互换类似,如果按列进行分解,对甲银行来说,这笔货币互换可以看 做一个美元固定利率债券多头与一个英镑固定利率债券空头的组合;如果按行进行 分解,该笔货币互换则可以看做一系列远期外汇协议的组合。下面针对已经存在的 货币互换协议,分别运用债券组合与远期外汇协议组合方法为其定价。 二、运用债券组合为货币互换定价 定义vx为货币互换的价值,那么对于收入本币、付出外币的那一方(如图7.2 中的甲银行):
第七章互换的定价与风险分析 13 V换=BD-SBp (7,7 式中,B是用外币表示的从互换中分解出来的外币债券的价值,B是从互换中分解 出来的本币债券的价值,S。是即期汇率(直接标价法) 对付出本币、收入外币的那一方: V换=S。B一BD (7.8) ∠【案例74】 货币互换的定价:运用债券组合 假设美元和日元的 LIBOR的期限结构是平的,在日本是2%而在美国是6% 均为连续复利〉。某一金融机构在一笔货币互换中每年收入日元,利率为3% (每年计一次复利),同时付出美元,利率为6.5%(每年计一次复利)。两种货币 的本金分别为100万美元和120000万日元。这笔互换还有3年的期限,每年 交换一次利息,即期汇率为1美元=110日元。如何确定该笔货币互换的价值? 如果以美元为本币,那么 B=65e006×1+65e-00×2+106e-9×3=1008.427(万美元) B=3600e002×1+3600c0.02×2+123600e0×3=123389.7(万日元) 货币互换的价值为 23389.7 10-100427≈11.30(万美元) 如果该金融机构是支付日元收入美元,则对它来说,货市互换的价值为 113.30万美元 三、运用远期外汇协议的组合为货币互换定价 与利率互换类似,货币互换还可以分解成一系列远期合约的组合。货币互换 中的每次支付,都可以用一笔远期外汇协议的现金流来代替。因此,只要能够计算 并加总货币互换中分解出来的每笔远期外汇协议的价值,就可得到相应货币互换 的价值 【案例7.5】 货币互换的定价:运用远期外汇协议组合 便设美元和日元LBOR的期限结构是平的,在日本是2%而在美国是6% (均为连续复利)。某一金融机构在一笔货币互换中每年收入日元,利率为3% (每年计一次复利)同时付出美元,利率为6.5%(每年计一次复利)。两种货币 为本金分别为1000万美元和120000万日元,这笔互换返有3年的期限,每年 交换一次利息,即期工车为1美元=10日元,如何确定该笔货币互换的价值?