运用伊藤引理推导期货价格F所遵循的随机过程 案例资料 假设无收益标的资产价格S服从 ds= uSat asda 式中μ和σ都为常数,则该标的资产的期货价格F遵循怎样的随机过程? 案例分析 由于μ和o是常数,a(S,t)=μS,b(S,t)=0S的伊藤过程,可以运用伊藤 引理推导InS所遵循的随机过程。 由于F=Se-0,则 aF a-1 8-F aF__rF 代入式(11.7),就可得到F所遵循的随机过程为 (H-r)Fdt+ o Fdz 这说明,期货价格的漂移率比股票小r,这是因为股票投资需要现金投入,所 以投资回报中包含时间报酬和风险报酬,而期货投资无须现金投入(除了少量保证金 忽略不计外),因此只有风险报酬
运用伊藤引理推导期货价格 F 所遵循的随机过程 案例资料 假设无收益标的资产价格 S 服从 式中μ和σ都为常数，则该标的资产的期货价格 F 遵循怎样的随机过程？ 案例分析 由于μ和σ是常数，a(S,t)＝μS，b(S,t)＝σS 的伊藤过程，可以运用伊藤 引理推导 In S 所遵循的随机过程。 由于 F＝Ser(T－t)，则 代入式（11. 7 ），就可得到 F 所遵循的随机过程为 dF＝(μ－r)Fdt＋σFdz 这说明，期货价格的漂移率比股票小 r，这是因为股票投资需要现金投入，所 以投资回报中包含时间报酬和风险报酬，而期货投资无须现金投入（除了少量保证金 忽略不计外），因此只有风险报酬
几何布朗运动下股票价格的概率分布 案例资料 设A股票的当前价格为50元,预期收益率为每年18%,波动率为每年20%, 假设该股票价格遵循几何布朗运动且该股票在6个月内不付红利,请问该股票6个月 后的价格ST的概率分布如何?A股票在6个月后股票价格的斯望值和标准差分别是 多少? 案例分析 由题意知S=50.=018a=0.2,T-t=0.5(年) 由式(11.10)可知,6个月后ST的概率分布为 lnSr4n50+(0.18-)×0502√05 lnSrΦ39920.141] 由于一个正态分布变量取值位于均值左右两个标准差范围内的概率为95%,因 此,置信度为95%时 3.71lnS1<4.274 40.85<S<71.81 因此,6个月后A股票价格落在40.85元到71.81元之间的概率为95% E(Sr)=50.018055471元 va(S1)=2500c20180e0-1-6046 半年后,A股票价格的期望值为5471元,标准差为√6046578
几何布朗运动下股票价格的概率分布 案例资料 设 A 股票的当前价格为 50 元，预期收益率为每年 18% ，波动率为每年 20%， 假设该股票价格遵循几何布朗运动且该股票在 6 个月内不付红利，请问该股票 6 个月 后的价格 ST 的概率分布如何？ A 股票在 6 个月后股票价格的斯望值和标准差分别是 多少？ 案例分析 由题意知 由式（11. 10）可知，6 个月后 ST 的概率分布为： 即 由于一个正态分布变量取值位于均值左右两个标准差范围内的概率为 95%，因 此，置信度为 95%时 3. 71<lnST<4. 274 40. 85<ST<71. 81 因此，6 个月后 A 股票价格落在 40.85 元到 71.81 元之间的概率为 95%。 半年后，A 股票价格的期望值为 54.71 元，标准差为
风险中性定价 案例资料 一种不支付红利的A股票目前价格10元,假设知道在3个月后,该股票价格 要么是11元,要么是9元.。现在要找出一份3个月期协议价格为10.5元的A股票欧 式看涨期权的价值。 案例分析 显然,由于欧式期权不会提前执行,其价值取决于3个月后的期权回报,而期 权回报又取决于3个月后A股票的市价。若3个月后该股票价格等于11元,则该期权 价值为0.5元:;若3个月后该股票价格等于9元,则该期权价值为0 为了找出该期权的价值,我们可构建一个由一单位看涨期权空头和△单位的 标的股票多头组成的组合。若3个月后该股票价格等于11元时,该组合价值等于(11 Δ一0.5)元;若3个月后该股票价格等于9元时,该组合价值等于9Δ元。为了使该 组合价值处于无风险状态,我们应选择适当的Δ值,使3个月后该组合的价值不变, 这意味着: 11△-0.5=9△ △=0.25 因此,一个无风险组合应包括一份看涨期权空头和0.25股标的股票。无论3 个月后股票价格等于11元还是9元,该组合价值都将等于2.25元 在没有套利机会情况下,无风险组合只能获得无风险利率。假设现在的无风 险年利率等于10%,则该组合的现值应为 0.1×0.2 由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位股票多头,而目前股票市场 为10元,因此: 10×0.25-f=2.19 f=0.31元
风险中性定价 案例资料 —种不支付红利的 A 股票目前价格 10 元，假设知道在 3 个月后，该股票价格 要么是 11 元，要么是 9 元.。现在要找出一份 3 个月期协议价格为 10.5 元的 A 股票欧 式看涨期权的价值。 案例分析 显然，由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于 3 个月后的期权回报，而期 权回报又取决于 3 个月后 A 股票的市价。若 3 个月后该股票价格等于 11 元，则该期权 价值为 0.5 元；若 3 个月后该股票价格等于 9 元，则该期权价值为 0。 为了找出该期权的价值，我们可构建一个由一单位看涨期权空头和Δ单位的 标的股票多头组成的组合。若 3 个月后该股票价格等于 11 元时，该组合价值等于（11 Δ－0.5）元；若 3 个月后该股票价格等于 9 元时，该组合价值等于 9Δ元。为了使该 组合价值处于无风险状态，我们应选择适当的Δ值，使 3 个月后该组合的价值不变， 这意味着： 11Δ－0.5=9Δ Δ=0.25 因此，一个无风险组合应包括一份看涨期权空头和 0.25 股标的股票。无论 3 个月后股票价格等于 11 元还是 9 元，该组合价值都将等于 2.25 元。 在没有套利机会情况下，无风险组合只能获得无风险利率。假设现在的无风 险年利率等于 10%，则该组合的现值应为： 2.25e－0.1×0.25＝2.19 元 由于该组合中有一单位看涨期权空头和 0.25 单位股票多头，而目前股票市场 为 10 元，因此： 10×0.25－f＝2.19 f＝0.31 元
这就是说,该看涨期权的价值应为0.31元,否则就会存在无风险套利机会。 从该例子可以看出,在确定期权价值时,我们并不需要知道股票价格上涨到 11元的概率和下降到9元的概率。但这并不意味着概率可以随心所欲地给定。事实 上,只要股票的预期收益率给定,股票上升和下降的概率也就确定了。例如,在风险 中性世界中,无风险利率为10%,则股票上升的概率P可以通过下式来求 01×025 [11P+9(1-P) P=62.66%。 又如,如果在现实世界中股票的预期收益率为15%,则股票的上升概率可以 通过下式来求 10=e013023×[11P+9(1-P) P=69.11%。 可见,投资者厌恶风险程度决定了股票的预期收益率,而股票的预期收益率 决定了股票升跌的概率。然而,无论投资者厌恶风险程度如何,从而无论该股票上升 或下降的概率如何,该期权的价值都等于0.31元
这就是说，该看涨期权的价值应为 0.31 元，否则就会存在无风险套利机会。 从该例子可以看出，在确定期权价值时，我们并不需要知道股票价格上涨到 11 元的概率和下降到 9 元的概率。但这并不意味着概率可以随心所欲地给定。事实 上，只要股票的预期收益率给定，股票上升和下降的概率也就确定了。例如，在风险 中性世界中，无风险利率为 10%，则股票上升的概率 P 可以通过下式来求： P=62.66%。 又如，如果在现实世界中股票的预期收益率为 15%，则股票的上升概率可以 通过下式来求： P=69.11%。 可见，投资者厌恶风险程度决定了股票的预期收益率，而股票的预期收益率 决定了股票升跌的概率。然而，无论投资者厌恶风险程度如何，从而无论该股票上升 或下降的概率如何，该期权的价值都等于 0.31 元
无收益资产的欧式期权定价 案例资料 假设某支不支付红利股票的市价为50元,无风险利率为12%,该股票的波动 率为10%求该股票协议价格为50元、期限1年的欧式看涨期权和看跌期权价格 案例分析 相关参数表达如下:S=50,X=50,r=0.12,0=0.1,T=1 计算过程可分为三步: 第一步,先算出d和d3 hn(50/50)+(0.12+0.01/2)×1 d 0.1x√1 0.1 第二步,计算N(d)和N(d)。 N(ad1)=N(125)=08944 (d2)=M(1.15)=08749 第三步,将上述结果及巳知条件代入公式(11.20)和(11.21),这样,欧 式看涨期权和看跌期权价格分别为 c=50×08944-50×0.8749c01=592(美元 p=50×(1-0.8749)e0121-50×01-08944)=027(美元) 在本例中,标的资产执行价格和市场价格相等,但看涨期权的价格却与看 跌期权的价格相差悬殊,原因在于利率和到期期哏对期权价格的影响。在本例中,利 率高达1%,到期期限长达一年。在这种情况下,执行价格的现值将大大降低。因 此,在计算了执行价格的现值以后,看涨期权是实值期权而看跌期权则是一个虚值期 权。这再次说明了本书关于内在价值和时间价值定义法的科学性
无收益资产的欧式期权定价 案例资料 假设某支不支付红利股票的市价为 50 元，无风险利率为 12%，该股票的波动 率为 10% 求该股票协议价格为 50 元、期限 1 年的欧式看涨期权和看跌期权价格。 案例分析 相关参数表达如下：S = 50，X=50，r=0.12，σ=0.1，T=1。 计算过程可分为三步： 第一步，先算出 d1和 d2。 第二步，计算 N(d1)和 N(d2)。 第三步，将上述结果及巳知条件代入公式（11. 20）和（11. 21），这样，欧 式看涨期权和看跌期权价格分别为 在本例中，标的资产执行价格和市场价格相等，但看涨期权的价格却与看 ， 跌期权的价格相差悬殊，原因在于利率和到期期哏对期权价格的影响。在本例 中，利 率高达 12%，到期期限长达一年。在这种情况下，执行价格的现值将大大降低。因 此，在计算了执行价格的现值以后，看涨期权是实值期权而看跌期 权则是一个虚值期 权。这再次说明了本书关于内在价值和时间价值定义法的科学性
有收益资产美式期权的定价 案例资料 假设一种1年期的美式股票看涨期权,标的股票在5个月和11个月后各有 个除权日,每个除权日的红利期望值为1.0元,标的股票当前的市价为50元,期权 执行价格为50元,标的股票波动率为每年30%,无风险连续复利年利率为10%,求该 期权的价值 案例分析 第一步,要判断该期权是否应提前执行。根据第十章的结论,美式看涨期权不 能提前执行的条件是D1≤x1-c”)和D≤和 在本例中,D=D2=1。计算可得,第一次除权日前不等式右边为 x1-e(-4)]=50×(1-c005)=243851元,因此在第一个除权日前期权不应当 执行。 第二次,除权日前不等右边为1-e-4]=50×(1-101003)=04141 元,因此在第二个除权日前有可能提前执行。 第二步,1年期和11个月期欧式看涨期权价格 对于1年期欧式看涨期权来说,由于红利的现值为 10xc-10416+10×eb09=18716元 因此S-I=48.1284,代入式(13.20).得 c12=481284N(a1)-50e01N(d2)=481284N(a1)-452419N(d2) h(481284/50)+(0.1+009/2)×1 0.3 =03562 其中,d2=03562-03×1=0562 由于N(0.3562)=0.6392,N(0.0562)=0.5224,因此 c1=48284×06392-452419×05224=71293元 (2)对11个月期的欧式看涨期权来说,红利的现值为
有收益资产美式期权的定价 案例资料 假设一种 1 年期的美式股票看涨期权，标的股票在 5 个月和 11 个月后各有一 个除权日，每个除权日的红利期望值为 1.0 元，标的股票当前的市价为 50 元， 期权 执行价格为 50 元，标的股票波动率为每年 30%，无风险连续复利年利率为 10%，求该 期权的价值。 案例分析 第一步，要判断该期权是否应提前执行。根据第十章的结论，美式看涨期权不 能提前执行的条件是 和 。 在本例中，D1＝D2＝1。计算可得，第一次除权日前不等式右边为 >1 元，因此在第一个除权日前期权不应当 执行。 第二次，除权日前不等右边为 <1 元，因此在第二个除权日前有可能提前执行。 第二步，1 年期和 11 个月期欧式看涨期权价格。 对于 1 年期欧式看涨期权来说，由于红利的现值为： 因此 S-I=48.1284，代入式（13. 20）.得 其中， 由于 N（0.3562）=0.6392，N（0.0562）=0.5224，因此 （2）对 11 个月期的欧式看涨期权来说，红利的现值为
10×e-01041=0.9592元 因此,S=49.0408元,代入式(13.20.)得 c1=490408N(41)-50e0109V(d2)=490408N(d1)-456203Nd2) h(490408/50)+(0.1+0.09/2)×09167 =03952 其中 03×√09167 d2=03952-03×√09167=01080 c11=49.0408×06536-456203×0.543=72812元 由于cl1>c12,因此该美式看涨期权应在第二个除权日提前执行,价值近似为 7.2812元
因此，S=49.0408 元，代入式（13. 20.）得 其中， 由于 c11>c12，因此该美式看涨期权应在第二个除权日提前执行，价值近似为 7.2812 元
