第 沿得跟孩其 布克一器尔斯-默顿期权定价模型 期权定价是所有衍生金融工具定价中最复杂的。自期权交易,尤其是股票期权 交易产生以来,学者们一直致力于对期权定价问题的探讨。1973年,美国芝加哥大 学教授费雪·布莱克( Fischer Black)和梅隆·舒尔斯( Myron Scholes)发表《期权与 公司负债定价》①一文,提出了著名的布莱克舒尔斯期权定价模型,用于确定欧式股 票期权价格,在学术界和实务界引起了强烈反响,同年,罗伯特,默顿( Robert C. Merton独立地提出了一个更为一般化的模型②,舒尔斯和默顿由此获得1997年 的诺贝尔经济学奖。本章将循序渐进,尽量深入浅出地介绍布莱克-舒尔斯默顿期 权定价模型(下文简称B7S-M模型),并由此导出衍生证券定价的一般方法 第一节布莱克-舒尔斯-默顿期权 定价模型的基本思路 由于本章内容丰富涉及随机过程等较为复杂的概念,在介绍具体内容之前,首 先对B-S-M模型的整体思路作一个简要的归纳,并用相对易于理解的方式表述出 来,以帮助读者更好地掌握期权定价的内容。测的 由于最终目标是为股票期权定价,而期权是其标的资产(即股票)的衍生工具,在 已知执行价格、期权有效期、无风险利率和标的资产收益的情况下,期权价格变化的 唯一来源就是股票价格的变化,股票价格是影响期权价格的最根本因素。因此,要研 究期权的价格,首先必须研究股票价格的变化规律。中 通过观察市场中的股票价格可知,股票价格的变化过程是一个随机过程。相 aD Black F Scholes. The pricing of options and corporte liabilities[]. Journal of Political Economy. 1973 81(3):637-659. o Robert C Merton, Theory of rational option pricing[J]. Bell Journal of Economics, 1973.4(1)1 ③简要地说,所谓随机过程,是指某变量的值以某种不确定的方式随时间变化的过程,显然股票价格和期 权价格这两个变量的值都以某种不确定的方式随时间而变化,故此股票价格的变化和期权价格的变化过程都 是随机过程
194 金融工程 应地,受其影响的期权价格的变化过程也必然是一个随机过程。事实上,人们发现, 股票价格的变化过程可以用一种随机过程—几何布朗运动较好地加以描述,其 具体形式如下 猫宝对融慧一诚一克莱的 s Aattodz (11.1 本章的第二节将对式(11.1)进行深入的剖析,在这里只需明白,等式右边的第二 项中的dz完全捕捉了影响股票价格变化的随机因素。 根据数学家伊藤(K.Ito)提出的伊藤引理( Ito Lemma)可知,当股票价格服从式 (11.1)时,作为股票衍生产品的期权价格f将服从 ++28)地+在(2 观察式(1.2),会发现影响期权价格的随机因素也完全体现在等式右边的第二 项中的dz上,这与我们的直觉是一致的:股票价格及其衍生产品期权价格都只 受到同一种不确定性的影响,其区别只是在于随机因素dz前面的系数不同,也就是 对随机因素变化的反应程度不同。 分少个出数0(no 如果式(111)两边同时乘以5,并与式(12)相减,则可以消去dz项 正如在前面曾经谈到的,金融工程分析过程中的许多数学等式和数学变换都其 有丰富的金融内涵。式(11)的两边同时乘上并将两式相减消去dz,实际上意味 着买入单位的股票,并卖空1单位的期权,可以构造出一个短期内没有不确定性 的投资组合。而在一个无套利的市场中,一个没有不确定性的投资组合必然只能获 得无风险利率的收益。这样在数学上,就可以从(1119和(1.2)的联立方程组中解 出一个期权价格∫所满足的偏微分方程,求解这一方程,就得到了期权价格的最终 公式。下 以上就是期权定价模型推导过程的基本思路。理解这一思路,将有助于在下面 看似无关的数学推导中不会迷失方向,在本章第二节中,将介绍为什么以及如何将 几何布朗运动用于捕捉股票价格和期权价格的变化规律。本章第三节将推导出期权 价格∫所满足的布莱克舒尔斯默顿微分方程(简称B-S-M微分方程),讨论其中 蕴含的风险中性定价原理,并求解B-S-M微分方程得到期权定价公式。最后,在 本章第四节中,将简要讨论B-S-M模型的精确度与拓展。 o必须强调的是,经验事实证明,几何布朗运动只能说是较好地而罪完美地描述了股票价格的变化过程, 但从这个较为简单的随机过程开始,有助于循序渐进地了解期权定价的基本原理
第十一章布莱克一舒尔斯-默顿期权定价模型195 第二节股票价格的变化过程 人们通常用形如 中产 dt+adz 的几何布朗运动来描绘股票价格的变化过程,这是B-S-M期权定价模型的基础性 假设,也是金融中最普遍最重要的假设之一。在本节中,将从介绍几何布朗运动的相 关基础知识开始,分析其被选择用于描述股价变化的原因,之后运用伊藤引理推导出 几何布朗运动假设下期权所服从的随机过程。需要再次强调的是,几何布朗运动仅 仅是一种较好地贴近股票价格变化规律的假设 如前所述,几何布朗运动中最重要的是dz项,它代表影响股票价格变化的随机 因素,通常称之为标准布朗运动( standard Brownian motion)或维纳过程( Wiener rocess 、标准布朗运动 设△t代表一个小的时间间隔长度,△z代表变量z在△t时间内的变化,如果变 量z遵循标准布朗运动,则△z具有以下两种特征。 特征1:△z和△t的关系满足 (11.3) 式中,e~p[0,10,即c代表从标准正态分布(即均值为0、标准差为1的正态分布 中取的一个随机值。 待征2:对于任何两个不同时间间隔△t,△z的值相互独立。 从特征1可知,△z本身也具有正态分布特征,其均值为0,标准差为√△,方差 为△t;从特征2可知,遵循标准布朗运动的变量具有独立增量的性质。 进一步考察遵循标准布朗运动的变量z在一段较长时间T-t中的变化情形。 我们用z(T)-z(t)表示变量z在T-t中的变化量,它可被看做是在N个长度为△t 的小时间间隔中z的变化总量,其中N=(T-t)/△t,因此 x(7)-x(1)=∑e√a△ 式中,e,(i=1,2,…,N)是标准正态分布的随机抽样值。从特征2可知,e;是相互独 立的,因此z(T)-z(t)也具有正态分布特征,其均值为0,方差为N△t=T-t,标准 差为√T-t。 可见:①在任意长度的时间间隔T-t中,遵循标准布朗运动的变量的变化值服从 ①g(m,s)表示均值为m,标准差为s的正态分布,下文同
金融江程限一管一乘 均值为0、标准差为√T一t的正态分布。②在任意长度的时间间隔T一t中,方差具有 可加性,总是等于时间长度,不受△如何划分的影响,但标准差就不具有可加性。 当△t→0时,就可以近似得到极限的或者说连续的标准布朗运动 √at (11.4) 事实上,标准布朗运动起源于物理学中对完全浸没于液体或气体中的小粒子运 动的描述,以发现这种现象的英国植物学家罗伯特·布朗( Robert brown)命名。然 而,真正用于描述标准布朗运动的随机过程的定义是维纳( Wiener)给出的,因此标 准布朗运动又称维纳过程 那么为什么采用维纳过程来描述股票价格变化中的随机因素呢?为通俗易懂起 见,下面将不加证明地直接引用维纳过程的一些数学性质来大致解释其在股票价格 建模中如此重要的原因。 首先,维纳过程中用c即标准正态分布的随机变量来反映变量变化的随机特征。 现实生活中很多变量的分布都近似于正态分布,加上其在数学上的易于处理,使得正 态分布成为最常见和最重要的分布假设之一。金融市场也不例外,经验事实证明,股 票价格的连续复利收益率近似地服从正态分布。这为维纳过程在股票价格随机过程 中的运用奠定了最重要的基础。 其次,数学上可以证明,具备特征1和特征2的维纳过程是一个马尔可夫随机过 程( Markov stochastic proces),这一点与金融学中的弱式效率市场假说不谋而合。 1965年,法玛(Fama)提出了著名的效率市场假说,之后许多学者运用各种数据进行 实证分析发现,发达国家的证券市场大体符合弱式有效市场假说,即证券价格变动的 历史不包含任何对预测证券价格未来变动有用的信息,也就是说不能通过技术分析 获得超额收益。而这一点正好与马尔可夫过程的性质相符。 除了上述两个原因之外,维纳过程在数学上对时间处处不可导和二次变分 ( quadratic variation)不为零的性质,与股票收益率在时间上存在转折尖点等性质也 是相符的,由于所涉及的数学较为复杂,本书中就不再详述。 普通布朗运动 维纳过程描述了变量z的随机运动,然而现实生活中大部分变量的运动过程不 仅包括随机波动,还可能存在时间趋势等特征,而且随机波动的方差不一定等于时间 长度。因此,需要在维纳过程的基础上进一步引入普通布朗运动,以更好地描述随机 变量的运动特征。 为了得到普通布朗运动,必须引入两个概念:漂移率( drift rate)和方差率( vari- ance rate)。漂移率是指单位时间内变量均值的变化值。方差率是指变量单位时间 ①通俗地说,所谓马尔可夫过程,是指只有变量的当前值才与未来的预测有关,变量过去的历史和变量从 过去到现在的演变方式与未来的预测无关
第十一章布莱克一舒尔斯-默顿期权定价模型 197 的方差。 令漂移率为a,方差率为b2,就可得到变量x的普通布朗运动 (11.5) 式中,a和b均为常数,dz遵循标准布朗运动。式(11.5)表明遵循普通布朗运动的变 量x是关于时间和dz的动态过程。式中的第一项adt为确定项,意味着x的漂移率 是每单位时间为a;第二项bdz是随机项,它代表着对x的时间趋势过程所添加的噪 音,使变量x围绕着确定趋势上下随机波动,且这种噪音是由维纳过程的b倍给出的。 从式(11.3)和(1.5)可知,在短时间△t后,x值的变化值△x为 △x=a△t+be√△t 因此,△x也具有正态分布特征,其均值为a△,标准差为b√△,方差为b2△。同样 在任意时间长度T-t后x值的变化也具有正态分布特征,其均值为a(T-t),标准 差为b√T-t,方差为b2(T-t),这个结论很重要,在下面将会运用到这一结论。 很显然,标准布朗运动的漂移率为0,方差率为1.0。漂移率为0意味着在未来 任意时刻z的均值都等于它的当前值;方差率为1.0意味着在一段长度为T的时间 段后,z的方差为1.0×T。标准布朗运动是普通布朗运动的一个特例 三、伊藤过程与伊藤引理 普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数,如果变量x的漂移率和方差率均为 变量x和时间t的函数,就说变量x服从伊藤过程( Ito proces) a(x, t)dt+b(x, t)dz (11.6) 式中,dz仍为标准布朗运动,a和b是变量x和t的函数,变量x的漂移率为a,方差 率为b2。 可以看到,伊藤过程的核心仍然是维纳过程。 在此基础上,伊藤进一步推导出:若变量x遵循伊藤过程,则变量x和t的函数 G(x,t)将遵循如下过程 ag aG 1aG (11.7) 式中,dz仍是一个标准布朗运动。可以看到,a+9C+12Gb和b都是x和t 的函数,因此函数G也遵循伊藤过程,漂移率”“2。9 x2b,方差率为 (C)b.这就是著名的伊藤引理° ①伊藤是一位数学家,他在1951年提出伊藤过程及下文的伊藤引理 ②式(1.07)的证明过程请参见 John C Hull. Options, futures, and other derivatives:8 th edition( Global Edition). New York: Pearson Education Inc, 2012: 297-298
198 金融工程朋是一“求菜一示 案例11.1和11.2给出了伊藤引理的两个应用 【案例1.1】 同运用伊藤引理推导inS所遵循的随机过程 假设变量S服从 w ds=uSdt-taSdz 式中,和d都为常数,则InS所遵循怎样的随机过程? 由于和口是常数,S显然服从a(S,t)=S,b(S,t)=0S的伊藤过程,可以 运用伊藤引理推导lnS所遵循的随机过程 令G=lnS,则 s1 aG aG 代入式(11.7),就可得到G=1nS所遵循的随机过程为 dG- dIn S =(=x) dt tad (11.8) 如果假设S为股票价格,则dlnS是股票的连续复利收益率。公式(1.8)说 明了股果的连续复利率从期望值(地方差为口出的正分布 么【案例11.2】 运用伊藤引理推导期货价格F所遵循的随机过程 假设无收益标的资产价格S服从 ds=uSdt:+oSd 式中,和都为常数,则该标的资产的期货价格F遵循怎样的随机过程? 由于A和G是常数,S显然服从a(S,1)=pS,b(S,1)=S的伊藤过程,可以 运用伊藤引理推导F所遵循的随机过程 由于F=Se(°,则 3一e一0,一F 代入式(1.7),就可得到F所遵循的随机过程为 -de=Cu-rfditoFdz cas 这说明,期货价格的漂移率比股票小r,这是因为股票投资需要现金投入,所 以投资回报中包合时间报劇和风险报酬,面期货投资无须现金投入(除了少量保 证金忽略不计外),因此只有风险报酬
第十一章布莱克一舒尔斯-默顿期权定价模型 199 四、股票①价格的变化过程:几何布朗运动 前文中已经数次提及,股票价格的变化过程可以用形如式(11.1)的几何布朗运 动来描述 =udt+adz 式中,S表示股票价格,和a都为常数。两边同时乘以S可得 IS=uSdt taSdz 显然,这是一个漂移率为pS、方差率为2S2的伊藤过程 在本节的第一部分已经讨论了为何运用维纳过程来捕捉股票价格变化中随机因 素,那么人们为什么要采用几何布朗运动这一特定的伊藤过程来描述股票价格的随 机过程呢?其主要原因有两个,一是可以避免股票价格为负从而与有限责任相矛盾 的问题,二是几何布朗运动意味着股票连续复利收益率服从正态分布,这与实际较为 吻合。 从案例11.1已知,如果股票价格服从几何布朗运动,则有 dG-dIn s=(u-2)dr+adz 从自然对数的定义域可知,S不能为负数。另外从公式(1.8)可以看出,股票价格的 对数服从普通布朗运动,因为它具有恒定的漂移率-和恒定的方差率d2。由前 文的分析可知,当一个变量服从普通布朗运动dx=adt+bdz时,其在任意时间长 度T-t内的变化值都服从均值为a(T-t)、方差为b2(T-t)的正态分布。也就 是说, In Sr-In S-o(a-2) (T-t),a√T (11.9) 式中,lnS为当前t时刻股票价格的自然对数,lnSr为未来T时刻股票价格的自然对 数,nSr-lnS为T-t期间股票价格对数的变化量。从式(11.9)可以得到以下两个 结论: (1)由于当前时刻的lnS实际上是已知的,式(11.9)可以写为 nSr~φlnS+ )(T-D),oVT. (11.10) 也就是说,股票价格服从几何布朗运动意味着未来T时刻股票价格的对数lnSr服 从正态分布,即未来T时刻的股票价格Sr服从对数正态分布。 根据对数正态分布的基本性质,从式(11.10)可以得到T时刻的股票价格Sr的 均值与方差分别为 这里的股票专指无收益股票,收益对股票价格随机过程和期权定价的影响将在下文专门讨论
200 金融工程 E(ST)=Se(T-n, var(ST)=SeA(T-DLe(T-o-11 (2)根据第一章中连续复利收益率的知识,nSr-nS实际上就是股票价格在 T-t期间的连续复利收益率,则T-t期间年化的连续复利收益率可以表示为 1Sx二ms,从式(1.9)可知随机变量服从正态分布 也就是说,股票价格服从几何布朗运动意味着股票连续复利收益率服从正态分布;同 时可以看到,几何布朗运动中的a是股票连续复利收益率的年化标准差,它也被称为 股票价格的波动率( volatility) 在这里需要特别强调的一点是:如果直接对式(11.1)进行离散化处理,可以得 到,在短时间△t后,股票价格的百分比收益率为 可见,在很短的时间内,也具有正态分布特征,其均值为p△,方差为d2△t 然而,如果取更长的时间,虽然在每个短的时间间隔△内股票价格百分比收益率s 都服从正态分布,但由于较长时间内的百分比毛收益率为每个瞬间百分比毛收益率 的乘积(例如,股票价格先增长15%,再下跌5%,则其总的百分比收益率应为(1+ 15%)×(1-5%)=1.0925%,即股票只上涨9.25%,而非10%),服从正态分布的 变量乘积并不服从正态分布,所以几何布朗运动只意味着短时间内的股票价格百分 比收益率服从正态分布,在长时期内其正态分布的性质就丧失了。但如果使用连续 复利收益率,则较长时间内的连续复利收益率为每个瞬间连续复利收益率之和(例 如,连续两个时间间隔的连续复利收益率分别为15%和5%,则其总的连续复利收益 率是10%),由于独立的正态分布变量之和仍为正态分布,因此总的连续复利收益率 仍服从正态分布。 从上面简单的例子还可看出,虽然△t时间内股票价格百分比收益率的漂移率为 ,但股票连续复利收益率的期望值仅为-5,股票价格的波动越大,两者的差距 也越大。这也说明,当假定股价服从公式(1.1)所示的几何布朗运动时,不能简单地 把常微分中dnS=dS/S直接代入公式(11.1)的左边得到 etdz 而应该运用伊藤引理来求。 ①本书网站上附有模拟股价变化路径的软件
第十一章布莱克-舒尔斯-默頓期权定价模型 201 总之,几何布朗运动意味着未来T时刻的股票价格Sr服从对数正态分布或股 票连续复利收益率服从正态分布,而金融中的大量经验事实证明这些假设基本符合 现实,加上其在数学和计量上相对易于处理,故此股票价格服从几何布朗运动,长期 以来一直是金融中的一个经典假设。义 最后,案例1.3将有助于读者进一步理解股票价格的几何布朗运动和对数正态 分布性质。 么【例1.3】 几何布朗运动下股票价格的概率分布 设A股票的当前价格为50元,预期收益率为每年18%,波动率为每年 20%,假设该股票价格遵循几何布朗运动且该股票在6个月内不付红利,请问该 股票6个月后的价格Sr的概率分布如何?A股票在6个月后股票价格的期望值 和标准差分别是多少? 由题意知:S=50,=0.18,0=0.2,T-=0,5(年) 由式(11.10)可知,6个月后Sr的概率分布为 0.04 lns~o50+(,18-121)×05,.2×√0.5 甲190901) 由于一个正态分布变量取值位于均值左右两个标准差范围内的概率为 95%,因此,置信度为95%时 3.71<lnSr<4.274 40.85<S<71.81 因此,6个月后A股票价格落在40.85元到71.81元之间的概率为95% E(S7)=50e18.5=54.71元 w(20(6 五、预期收益率μ与波动率σ 关于几何布朗运动中的两个参数与a,首先再次强调是在短时间内股票年 化比例收益率的期望值,而不是年化连续复利收益率的期望值,而是股票连续复利 收益率的年化标准差,它们的单位分别为年和√年。以下为了表述方便,将简称为 ①越来越多的实证研究表明,股票收益率的分布并不完全符合对数正态分布,而呈现尖峰尾的现象 随机过程可以刻画服从任何分布的股票价格的运动过程,公式(1.)中p和。是常数的假定,则这个 但这井不能作为反对股价运动服从伊藤过程的理由,因为只要去掉
202 金融工程 股票的预期百分比收益率则股票的连续复利预期收益率等于-g 根据资本资产定价原理〃值取决于无风险利率,标的股票的系统性风险和市场 的风险收益偏好。由于后者涉及主观因素,因此的决定本身就较复杂。然而幸运 的是,在下文将证明,在一定的假设条件下,衍生证券(包括期权)的定价与是无关 的。因此在期权定价中无须考虑p的取值。 与之相反,股票价格的波动率a对于衍生证券的定价则是相当重要的。股票价 格的波动率可理解为股票价格的“脾气”,正如第十章中所提及的,通常可以通过历史 数据来观察各种证券“脾气”的大小,求出股票连续复利收益率历史数据的年化标准 差,即“历史波动率”,然后通过公式(11.10)确定未来股票价格的概率分布。应该注 意的是,几何布朗运动中的a是常数。而实际上,股票价格的脾气是会变的,会随 时间而变化。因此,用历史数据估计a值时,应尽量用最新一段时间的数据,样本时 间的长短也要根据目的不同而调整,而且要注意这仅是一种近似。 六、衍生证券所服从的随机过程 当股票价格服从几何布朗运动 ds=uSdt+oSd 时,由于衍生证券价格G是标的证券价格S和时间t的函数G(S,t),根据伊藤引理, 衍生证券的价格G应遵循如下过程: ag 1 aG Ot223202sdt+asaDa (11.11) 比较式(1.1)和式(11.11)可看出,衍生证券价格G和股票价格S都受同一个不确 定性来源dz的影响,这点对于以后推导衍生证券的定价公式很重要。 第三节布莱克-舒尔斯-默顿期权定价公式 知道了股价和衍生证券价格所遵循的随机过程后,就可以推导著名的布莱克舒 尔斯-默顿偏微分方程和期权定价公式 布莱克-舒尔斯-默顿偏微分方程 由于衍生证券价格和标的股票价格都受同一种不确定性dz的影响,若匹配适当, 这种不确定性就可以相互抵消。因此,可以建立一个包括一单位衍生证券空头和若干 单位标的股票多头的投资组合,若数量适当股票多头盈利(或亏损)总是会与衍生证券 空头的亏损(或盈利)相抵消,所以在很短的时间M内该投资组合是无风险的。那么, ①本书网站提供了波动率估计与预测的软件