第 远期与期货定 章 衍生产品的定价( pricing)是金融工程最重要的内容之一,它指的是确定衍生产 品的理论价格。衍生产品的理论价格是市场参与者进行套期保值、套利和投机的依 据。在本章中,将运用“无套利定价法”这一金融工程的重要思想与方法对远期和期 货合约进行定价 第一节远期价格与期货价格 、远期价值、远期价格与期货价格 远期合约中规定的未来交易价格被称为“交割价格”。显然,远期协议一旦签订, 在协议到期之前交割价格是不会改变的。下面再引入“远期价值”( forward value)和 “远期价格”( forward price)的概念。 所谓远期价值,是指远期合约本身的市场合理价值。例如,一个交割价格为10 元、交易数量为100单位、距离到期日还有1年的远期合约,如果标的资产当前的市 场价格为15元,市场无风险连续复利率为10%,则对多头来说,该远期合约的价值 就为(15-10×e-0%×1)×100=595元。①对空头来说,该远期合约价值就为 595元 关于远期价值的讨论要分远期合约签订时和签订后两种情形。在签订远期合约 时,如果市场是有效的,对于一份公平的合约,多空双方所选择的交割价格应使远期 价值在签署合约时等于零。这意味着无须成本就可处于远期合约的多头或空头状 态。在远期合约签订以后,由于交割价格不再变化,多空双方的远期价值将随着标的 资产价格的变化而变化。显然,如果标的资产价格高于交割价格的现值,多方的远期 价值就是正的而空方的远期价值就是负的,反之亦然。 远期价格则是一个不同的概念。所谓远期价格,是指使远期合约价值为零的交割 价格。定义远期价格为F,前述例子中的远期价格就是使得(15-FXe-10%×1)×100 ①这里之所以贴现是因为多头要到}年后到期时才支付10元的交割价格
第三章远期与期货定价 0的F,简单计算可得F=16.58元。也就是说,当交割价格为16.58元时,该远期价值 才等于零 远期价格是理论上的交割价格。关于远期价格的讨论也要分远期合约签订时和 签订后两种情形。在一份远期合约签订时,如果实际交割价格不等于这个理论上的 远期价格,该远期合约价值对于多空双方来说就都不为零。也就是说,签订的当时即 有+方盈利而另一方亏损,是一份不公平的合约,实际上隐含了套利空间①。一份公 平合理的远期合约在签订的当时应使交割价格等于远期价格。在远期合约签订以 后,交割价格已经确定,远期合约价值不一定为零,远期价格也就不一定等于该交割 价格。前述例子中,远期价格与交割价格差异的贴现(16.58-10)×e-10%×)×100 595元,正好等于多头的远期价值。也就是说,远期合约签订后,远期价格与交割价 格差异的贴现决定了远期价值 总之,与传统理解的价值与价格的相互关系不同,远期价值是远期合约本身的价 值,而远期价格则是理论上使远期价值等于零的那个未来的交割价格。通过本章第 二节的定价讨论能够进一步帮助读者理解这两者的差异。 类似地,在期货合约中,定义期货价格( futures prices)为使得期货合约价值为零的 理论交割价格。因此期货价格是与远期价格非常相似的概念,它们都是定价时所讨论 对象。但值得注意的是,对期货合约来说,一般较少谈及“期货合约价值”这个概念。 基于期货的交易机制,投资者持有期货合约,其价值的变动来源于实际期货报价的变化 由于期货每日盯市结算每日结清浮动盈亏,因此期货合约价值在每日收盘后都归零 二、远期价格与期货价格的关系 由前述可知,本章中所讨论的远期和期货定价,就是要确定理论远期价值、远期 价格和期货价格。问题在于,远期价格与期货价格非常相似,都是理论交割价格,唯 的区别是远期和期货合约交易机制的不同:远期合约在签订之后就不再变化直至 到期交割清算;而期货合约则每日盯市结算结清浮动盈亏。那么远期价格和期货价 格是否差异很大,需要分别推导出全然不同的定价公式呢? 考克斯(Cox)等证明②,当无风险利率恒定且对所有到期日都相同时,交割日相 同的远期价格和期货价格应相等。但是,当利率变化无法预测时,远期价格和期货价 格就不相等。至于两者孰高孰低,则取决于标的资产价格与利率的相关关系。 当标的资产价格与利率呈正相关时,期货价格高于远期价格。这是因为当标的 资产价格上升时,期货价格通常也会随之升高,期货合约的多头将因每日结算制而立 即获利,并可按高于平均利率的利率将所获利润进行再投资。而当标的资产价格下 ①具体套利方法参见本章第二节的内容 Q #9 Cox J C, Ingersoll J E, Ross S A. The relationship between forward prices and future prices. Journal of Financial Economics, 1981(12):321-346
金融工程已 跌时,期货合约的多头将因每日结算制而立即亏损,但是可按低于平均利率的利率从 市场上融资以补充保证金。相比之下,远期合约的多头将不会因利率的变动而受到 上述影响。在此情况下,期货多头比远期多头更具吸引力,期货价格自然就大于远期 价格。相反,当标的资产价格与利率呈负相关时,远期价格就会高于期货价格。 远期价格和期货价格的差异幅度还取决于合约有效期的长短。当有效期只有几 个月时,两者的差距通常很小。此外,税收、交易费用、保证金的处理方式、违约风险、 流动性等方面的因素或差异也会导致远期价格和期货价格的差异。 总之,远期价格与期货价格的定价思想在本质上是相同的,其差别主要体现在交 易机制和交易费用的差异上,在很多情况下常常可以忽略。因此在大多数情况下,可 以合理地假定远期价格与期货价格相等,并都用F来表示。在以下的分析中,对远 期合约的定价同样适用于期货合约。 、基本的假设与符号 (一)基本的假设 为分析简便起见,本章的分析是建立在如下假设前提下的: (1)没有交易费用和税收。 (2)市场参与者能以相同的无风险利率借人和贷出资金。 (3)没有违约风险。 (4)允许现货卖空 (5)当套利机会出现时,市场参与者将参与套利活动,从而使套利机会消失。 (6)期货合约的保证金账户支付同样的无风险利率。这意味着任何人均可不花 成本地取得远期和期货的多头和空头地位。 (二)符号 本章将要用到的符号主要有: T:远期和期货合约的到期时刻 t:远期和期货合约到期前的某一时刻。T-代表远期和期货合约中以年为单 位的距离到期的剩余时间 s;远期(期货)标的资产在时间z时的价格 Sr:远期(期货)标的资产在时间T时的价格(在t时刻此为未知变量)。 K:远期合约中的交割价格 f:远期合约多头在t时刻的价值,即t时刻的远期价值。 F:时刻的远期合约和期货合约中的理论远期价格和理论期货价格。在本书中 如无特别注明,二者分别简称为远期价格和期货价格。 r:T时刻到期的以连续复利计算的t时刻的无风险利率(年利率)。在本书中 如无特别说明,利率均为连续复利的年利率。 上述符号在全书中通用
第三章远期与期货定价 51 第二节无收益资产远期合约的定价 所谓无收益资产的远期合约,是指远期合约的标的资产在从时刻t到远期合约 到期时刻T之间不产生现金流收入,如贴现债券①。 、无套利定价法与无收益资产的远期价值 本章所用的定价方法为无套利定价法。基本思路为:构建两种投资组合,令其在未来 某一时刻的价值相等,则其现在的价值一定相等;否则就可进行套利,即卖出现在的价值 较高的投资组合,买入现在的价值较低的投资组合,并持有到期末,套利者就可赚取无风 险收益。众多套利者这样做的结果,将使现在的价值较高的投资组合价格下降,而现在的 价值较低的投资组合价格上升,直至套利机会消失,此时两种组合现在的价值相等。这 样,就可根据两种组合现在的价值相等的关系求出远期价格。 例如,为了给无收益资产的远期合约定价,构建如下两个组合: 组合A:一份远期合约②多头加上一笔数额为Ke“r°的现金 组合B:一单位标的资产 在组合A中,Ke“”的现金以无风险利率投资,投资期为T-t。到T时刻, 其金额将达到K。这是因为: Ke r-pe0=K。 在远期合约到期时,该笔现金刚好可用于交割换得一单位标的资产。这样,在T 时刻,两个组合都等于一单位标的资产。根据无套利原则,这两个组合在t时刻的价 值必须相等,即: f+Ke -"=S f=s-K (3.1) 式(3.1)表明,无收益资产远期合约多头的价值等于标的资产现货价格与交割价 格现在的价值的差额。换一个角度来看,这个数学等式也表明,一单位无收益资产远 期合约多头等价于一单位标的资产多头和Ke“单位无风险负债的资产组合。 二、无收益资产的现货-远期平价定理 由于远期价格F就是使远期合约价值∫为零的交割价格K,即当f=0时 F。据此可令式(3.1)中的f=0,则 这就是无收益资产的现货一远期平价定理(spot- forward parity theorem),或称现货 ①贴现债券是指在票面上不规定利率,发行时按某一折扣率、以低于渠面金额的价格发行,到期时仍按面 额偿还本金的偾券 ②该合约规定多头在到期日T可按交割价格K购买一单位标的资产
金融工程 期货平价定理(spot- futures parity theorem)。式(3.2)表明,对无收益资产而言,远 期价格等于其标的资产现货价格以无风险利率计算的终值。 我们用反证法证明等式(3.2)不成立时的情形是不均衡的。 ∩假设K>Se「°,即交易对手报出的交割价格大于现货价格的终值。在这种情况下, 套利者可以按无风险利率r借入S现金,期限为T-t。然后用S购买一单位标的资产 同时卖出一份该资产的远期合约,交割价格为K。在T时刻,该套利者可将一单位标的资 产交割换得K现金,并归还借款本息Sc,从而实现K-Scr的无风险利润。 4若K<Se”,即交割价格小于现货价格的终值。套利者可进行反向操作,即卖 空标的资产,将所得收入以无风险利率r进行投资,期限为T-t。同时买进一份该标的 资产的远期合约,交割价格为K。在T时刻,套利者收到投资本息Se,并以K现金购 买一单位标的资产,用于归还卖空时借入的标的资产,从而实现Ser°-K的利润。 案例31和案例3.2可以帮助读者更好地理解远期价值和远期价格的计算。 【案例31】 无收益资产远期合约的价值 目前,6个月期的无风险年利率为4.17%。市场上正在交易一份标的证券为 一年期贴现债券、剩余期限为5个月的远期合约多头,其交割价格为970元,该债 券的现价为960元。请问:对该远期合约的多头和空头来说,运期价值分别是 多少? 根据题意,有 s=960,K=970,-4.17%,T-t=0.5 则根据式(3.1),该远期合约多头的远期价值f为 f=S-Ke“T0=960-970×c-41)x≈10.02元 该远期合约空头的远期价值为f=-10.02元。 么【案例3.2】 无收益资产远期合约的远期价格 目前,3个月期的无风险年利率为3.99%6,市场上正在交易一个期限为3个 月的股票远期合约,标的股票不支付红利且当时市价为40元。那么根据式 (3,2),这份远期合约的合理交割价格应为: F=40×c3=40,40元小 假设市场上该合约的交割价格为40.20元,则套利者可以卖空股票并将所得 收入以无风险利率进行投资,期末可以获得无风险利润40.40-40.20=0.20元。 反之,如果市场上远期合约的交割价格大于40,40元,如40.80元,套利者可以借 1入46元买入股票并以(0:80元的价格出远期合,期末也可以获得无风险利 润0.40元
第三章远期与期货定价 53 三、远期价格的期限结构 远期价格的期限结构描述的是同标的资产不同期限远期价格之间的关系。设 F为在T时刻交割的远期价格,F为在T时刻交割的远期价格,r为T时刻到期的 无风险利率,r为T时刻到期的无风险利率。对无收益资产而言,从式(3.2)可知: F=Se(> F= -p, 两式相除消掉S后,得: F'=Fe(r° (3.3) 么【案例3.3】 无收益资产远期合约的远期价格期限结构 目前,3个月期与6个月期的无风险年利率分别为3.99%与4.17%。某支 不付红利的股票3个月远期合约的远期价格为20元,该股票6个月期的远期价 格应为多少 根据题意,有 F=20,=3.99%,r=4.17%,T-t=0.25,T-t=0.5 则根据式(3.3),该股票1年期远期价格应为 F=Fe(-7=20×e01x5002=20.22元 第三节支付已知现金收益资产远期合约的定价 支付已知现金收益的标的资产是指在远期合约到期前会产生完全可预测的现金 流的资产,如附息债券和支付已知现金红利的股票等。黄金、白银等贵金属本身不 产生收益,但需要花费一定的存储成本,存储成本可看成是负收益。令已知现金收益 的现值为I,对黄金、白银来说,为负值。 、支付已知现金收益资产的远期价值 仍然采用无套利定价法给支付已知现金收益资产的远期合约定价。现构建如下 两个组合 组合A:一份远期合约②多头加上一笔数额为Ker的现金 ①需要指出的是,如果附息债券所支付的利息是在考察的远期合约存续期之外的,该附息债券仍然被视 作无收益的标的资产·只有在所考察的远期合约存续期内有已知现金收入的,才被看做支付已知现金收益的 标的资产 ②该合约同样规定多头在到期日T可按交割价格K购买一单位标的资产
54金融工程 组合B:一单位标的证券加上利率为无风险利率期限为从当前时刻到现金收益 派发日、本金为I的负债。 易知,组合A在T时刻的价值等于一单位标的证券。在组合B中,由于标的证 券的现金收益刚好可以用来偿还负债的本息,因此在T时刻,该组合的价值也等于 一单位标的证券。因此,在t时刻,这两个组合的价值应相等,即 f+Ke-=S-I f=S-1-Ker° (3.4) 式(3.4)表明,支付已知现金收益资产的远期合约多头价值,等于标的证券现货 价格扣除现金收益现值后的余额与交割价格现值之差。从组合的角度考虑,式(3.4) 说明一单位支付已知现金收益资产的远期合约多头可由一单位标的资产和1+ Ker单位无风险负债构成 【案例3.4】 支付已知现金收益资产远期合约的价值 目前,6个月期与1年期的无风险年利率分别为4.17%与4.11%。市场上 种10年期国债现货价格为90元,该证券一年期远期合约的交割价格为1001 元,该债券在6个月和12个月后都将收到60元的利息,且第二次付息在远期合 约交割之前,求该合约的价值。 根据已知条件,可以先算出该债券已知现金收益的现值 =60×e41%×5+60×e11×1=116.35元 根据式(3.4),可算出该远期合约多头的价值为 Ke--0=99-1.35-100×41x1--87.04元 相应地,该合约空头的远期价值为87.04元 支付已知现金收益资产的远期价格 根据远期价格的定义,可从式(3.4)中求得: F=(S-D)et1° (3.5) 这就是支付已知现金收益资产的现货-远期平价公式。式(3.5)表明,支付已知 现金收益资产的远期价格等于标的证券现货价格与已知现金收益现值差额的无风险 终值。 同样,可以用反证法来证明式(3.5) 假设K>(S-1)er°,即交割价格高于远期理论价格。则套利者可以进行如 下操作:以无风险利率借入现金S买人标的资产,卖出一份交割价格为K的远期合 约,将在T-t期间从标的资产获得的现金收益以无风险利率贷出至T时刻。这样 到T时刻,套利者将标的资产用于交割得到现金收入K,还本付息Se,同时得到
第三章远期与期货定价 IeT的本利收入。最终套利者在T时刻可实现无风险利润K-(S-D)e 如果K<(S-D)er°,即交割价格低于远期理论价格。则套利者可以进行反 向操作:借入标的资产卖掉,得到现金收人S以无风险利率贷出,同时买入一份交割 价为K的远期合约。在T时刻,套利者可得到贷款本息收入SeTD,同时付出现金 K换得一单位标的证券,用于归还标的证券的原所有者,并把该标的证券在T-t期 间的现金收益的终值IeT同时归还原所有者①。这样,该套利者在T时刻可实现 无风险利润(S-D)e"T-K 从以上分析可以看出,当式(3.5)不成立时,市场就会出现套利机会,套利者的套 利行为将促成式(3.5)的成立。 么【案例35】 支付已知现金收益资产的期货价格 假设黄金现价为每盎司733美元,其存储成本为每年每盎司2美元,一年后 支付,美元一年期无风险利率为4%。则一年期黄金期货的理论价格为 F=(S一1)eT=(7331)×e4x2 式中,1=-2×一4x1=一1.9学 F=(733+1.92)×c×1=764.91(美元/盎司) 第四节支付已知收益率资产远期合约的定价 支付已知收益率的标的资产,是指在远期合约到期前将产生与该资产现货价格 成一定比率的收益的资产。货币是这类资产的典型代表,其收益率就是该货币发行 国的无风险利率,因此利率远期(期货)和外汇远期(期货)都可看做是支付已知收益 率资产的远期(期货)合约。股票指数也可近似地看做是支付已知收益率的资产。股 票指数是一组股票市场表现的综合反映,可以被视为一个股票组合。虽然几乎所有 的股票都是离散支付红利且单只股票的红利率常常是变化的,但当股票指数包含的 股票数量足够多时,该组合可能总是有一部分股票在支付红利,且整体的红利率是可 以大致预测的。因此总体上看,如果股价指数没有对红利支付进行调整,那么近似地 假设股票指数支付连续的红利还是比较接近现实的。指数所含股票越多,这个假设 就越合理。 为了给支付已知收益率资产的远期定价,可以构建如下两个组合 组合A:份远期合约②多头加上一笔数额为Kexr-的现金。 ①由于在卖空交易中,借入证券只借入该证券的使用权而未借入所有权,故该证券的收益归原所有者 ②该合约同样规定多头在到期日T可按交割价格K购买一单位标的资产
56金融工稷己限 组合B:e单位证券并且所有收入都再投资于该证券,其中q为该资产按连 续复利计算的已知收益率。1, 从前文的分析可知,组合A在T时刻的价值等于一单位标的证券。组合B由于获 得的红利收入全部都再投资于该证券,拥有的证券数量随着获得红利的不断发放而增 加,所以在时刻T,正好拥有一单位标的证券。因此在t时刻两者的价值也应相等,即 eu nano. f+Ke T-o=Se -- f=Sewr-Ke° 式(36)表明,支付已知红利率资产的远期合约多头价值等于e°单位证券 的现值与交割价现值之差。或者说,一单位支付已知红利率资产的远期合约多头可 由er单位标的资产和Ke-单位无风险负债构成。 根据远期价格的定义,可根据式(3.6)算出支付已知收益率资产的远期价格 这就是支付已知红利率资产的现货-远期平价公式。式(3.7)表明,支付已知收 益率资产的远期价格,等于按无风险利率与已知收益率之差计算的现货价格在T时 刻的终值。 案例3.6给出了一个S8P500股指期货定价的例子。 【案例3.6】 s&P500股指期货定价 2007年9月20日,美元3个月期无风险年利率为3.77%,S8P500指数预 期红利收益率为1.6%,当S8P500指数为1518.75点时,2007年12月到期 的S&P500.指数期货SPZ07相应的理论价格应为多少? 由于S&P500指数期货总在到期月的第三个星期五到期,故此2007年9月 SPz07期货到期时间为3个月,根据式(3.7),SP207理论价格应为 F=Se-0r0=1518:.75×71+obn=1526.78 第五节远期与期货价格的一般结论 一、完美市场条件下的持有成本模型 这里所谓的完美市场,就是在本章第一节中所讨论的基本假设(1)、(2)、(4)成立 的市场。基于这些假定,在本章前四节中得到了针对不同性质标的资产的远期合约 的定价公式。可以看出,三个远期价格公式之间有着内在一致性: (3.2) sEpmhAs,F(S-Det F=Se(rocT-o (3.7)
第三章远期与期货定价 也就是说,计算远期价格,总是将标的资产价格中远期多头到期时无法获得的确定性 收益剔除,对标的资产价格的剩余部分以无风险利率计算终值,就得到理论的远期价格。 从直觉上理解,远期和期货都是交易双方约定在将来某一时间按约定的条件买 卖一定数量的某种标的资产的合约。假设标的资产无收益,投资者A计划出售一单 位标的资产,以下两种方法应该是等价的:一是在当前t时刻卖出一份远期价格为F 的远期合约①,合约到期即T时刻交割必定能获得F;二是在当前t时刻立刻出售获 得S,并以无风险利率r贷出,这样在T时刻可以获得确定性收入Ser0。由于t时 刻两种投资的价值都为S,T时刻的两种确定性收入应相等: F=Se(T-n 如果实际价格高于或低于上述理论价格F,市场上就存在着套利机会,可以通过前文 介绍的正向或反向套利来获取无风险收益。而众多套利者进行套利的结果,就会使 得实际价格逐渐趋近理论价格,直至套利机会消失。 总之,通俗地说,由于远期价格是投资者A未来可获得的现金收人,一个合理的 远期价格应使得投资者A现在出售现货和出售远期所获得的确定性收入相等,无风 险利率r实际上反映了投资者A现在不出售而在未来出售标的资产所承担的确定 性成本。推而广之,式(3.5)和式(3.7)中的I和q则反映了组合A现在不出售而在 未来出售标的资产所能获得的确定性收益,因此应该从其收到的远期价格中扣减 因此,可以用持有成本( cost-of-cary)的概念来概括远期价格与现货价格的关 系。持有成本的基本构成如下: 持有成本=保存成本+无风险利息成本一标的资产在合约期限内提供的收益 举例来说,不支付红利的股票没有保存成本和收益,所以持有成本就是利息成本 r;股票指数的资产红利率为q,其持有成本就为r-q;货币的收益率为该币种的无风 险利率r,所以其持有成本是r-n;对黄金和白银等投资性商品而言,若其存储成本 与现货价格的比例为u,则其持有成本就为r+u;以此类推。 所以,如果用c2表示持有成本,远期价格就为 (3.8) 相应地 f=Se(e-n(r-o-Ke T-o (3.9) 二、非完美市场条件下的远期定价 以上结论都是建立在完美市场的假设下的。实际运用中,由于市场的不完美性, 定价公式会受到一定影响。下面以无收益资产为例进行简单解释。证明不是很困 ①假设一份远期合约的未来交易数量为一单位标的资产 ②这里,把标的资产在远期合约存续期内的确定收益都转化成了连续复利收益率,以方便表达。很显然 确定性现金收人也可以转化成连续复利收益率的形式,因而式(38)是具有一般性的
