第 期权的回报与价格分斬 章 一作为投资者,交易期权最关注的就是未来可能获得的收益、可能承担的风险和 期权价格的变化情形。本章将运用图形、公式和表格相结合的方式讨论期权的回报 与盈亏,并进一步对期权价格的可能分布区间及影响期权价格的主要因素进行深入 分析 第一节期权的回报与盈亏分布 本节将分析期权到期时多空双方的回报( payoff)与盈亏( gain or loss)分 布。这两个概念的区别在于,回报未考虑期权费,而盈亏则考虑了期权费对交易双 方最终收益状况的影响。从这一章开始,用X表示期权的执行价格,小写的c与p 表示欧式看涨期权与看跌期权价格,大写的C与P表示美式看涨期权与看跌期权 价格。除非另有定义,其他符号仍沿用第五章中的定义。 、看涨期权的回报与盈亏分布 以一个执行价格为40元的欧式股票看涨期权为例,期权到期时多头的回报和盈 亏分布如图10.1(a)所示。 可以看到,期权到期时,标的股票价格若高于执行价格40元,多头必然执行期 权,按40元买入股票获利,股票价格比40元高多少,多头就获得多少回报;若股票价 格低于40元,多头必然放弃权利,回报为零。由于不考虑期权费,看涨期权多头的回 报如图中的“期权回报”线所示,40元以下为零,40元以上则以45度角向右上方 延伸 在计算盈亏时,就要考虑付出的期权费成本(为分析方便,不考虑利息成本,下 同)。因此,看涨期权多头的盈亏线就要比回报线向下平移,平移量正是多头所支付 的期权费。值得注意的是,40元仍然是看涨期权多头是否执行期权的转折点,但只 有当股票价格涨到图中A点(称之为“盈亏平衡点”,等于执行价格加期权价格)以 后,期权多头才开始盈利。 由于期权合约是零和游戏( zero-sum games),期权多头和空头的回报和盈亏正
第十章期权的回报与价格分析173 期权回报 期权盈亏 执行价格 期权到期时的股价1 (a)欧式看涨期权多头的回报与盈亏 期权回报 期权盈亏 执行价格 期权到期时的股价 (b)欧式看涨期权空头的回报与盈亏 图10.1欧式看涨期权回报与盈亏分布 好相反,据此可以画出看涨期权空头的回报和盈亏分布,如图10.1(b)所示。 从图中可以看出,看涨期权多头的亏损风险是有限的,其最大亏损限度是期权 价格,而其盈利可能却是无限的。相反,看涨期权空头的亏损可能是无限的,而盈 利是有限的,其最大盈利限度是期权价格。期权多头以较低的期权费为代价换取 较大盈利的可能性,如同买了一个保险,这也是期权费( premium)在英文中为何与 保险费为同一个词的主要原因;而期权空方则为了赚取期权费冒着大量亏损的 风险。 二、看跌期权的回报与盈亏分布 执行价格为40元的欧式看跌期权的回报与盈亏分布如图10.2所示。显然,期 权到期时,标的股票价格若低于执行价格40元,多头必然执行期权,按40元卖出股 票获利,股票价格比40元低多少,多头就获得多少回报;若股票价格高于40元,多头 必然放弃权利,回报为零。由于不考虑期权费,看跌期权多头的回报如图10.2(a)中 的“期权回报”线所示,40元以上为零,40元以下则以45度角向左上方延伸。 由于考虑了付出的期权费成本,看跌期权多头的盈亏线也要比回报线向下平移, 平移量也是多头所支付的期权费。与看涨期权类似,40元仍然是看跌期权多头是否 执行期权的转折点,但只有当股票价格跌到盈亏平衡点B点(等于执行价格减期权
174金融工程回点 一执行价格 60 期权到期时的股价 (a)欧式看跌期权多头的回报与盈亏 期权回报 执行价格 -20 期权到期时的股价 b)欧式看跌期权空头的回报与盈亏 图10.2欧式看跌期权回报与盈亏分布 费)之下,期权多头才开始盈利 看跌期权也是零和游戏,多空双方的回报和盈亏正好相反,据此可以画出欧式看 跌期权空头的回报和盈亏分布,如图10.2(b)所示。 从图中可以看到,看跌期权多头的亏损风险是有限的,其最大亏损限度也是期权 价格;但其盈利可能并非无限,当标的资产价格为零时看跌期权多头的盈利最大,等 于执行价格减去期权价格。看跌期权空方的盈亏状况与多方刚好相反,盈利为有限 的期权费,亏损也是有限的,其最大限度为协议价格与期权价格之差 期权到期回报公式 除了回报与盈亏分布图,还可以用公式来描述期权到期的回报与盈亏状况。表 10.1给出了欧式期权到期回报与盈亏的计算公式。 对期权回报盈亏分布图与计算公式的深刻理解和认知是非常重要的,它们描述 了期权的本质特征、现代金融市场与现代经济中,很多期权以复合的或是复杂不易 辨别的产品形式存在,如在第九章介绍的内嵌期权和实物期权。对此类产品进行解 构、分析和管理的第一步,就是根据这些产品的回报判断其是否是期权,期权的标的 资产、执行价格、到期期限等要素如何。 立
第十章期权的回报与价格分析 175 表10.1欧式期权多空到期时的回报与盈亏 到期回报公式 头寸 到期盈亏公式 看涨期权 max(Sr-X, 0)-c 多 mxS-x,0)若到期价格Sr高于x,多头执行期权 获得差价;否则放弃期权,回报为零 看涨期权-max(Sr-X,0)若到期价格Sr高于x,多头执行期权 max(ST-X, 0)+c 空头 或 空头损失差价;否则多头放弃期权,空头 min(X-Sr,0)回报为零 min(X- ST, 0)-+c 看跌期权 若到期价格Sr低于X,多头执行期权 max(X- Sr, 0) 多头 获得差价;否则放弃期权,回报为零 max(X- Sr, 0)-p 看跌期权max(x-S,0)若到期价格S低于x,多头执行期权,一mx(x-S,0)+p 空头 空头损失差价;否则多头放弃期权,空头 min(sr-X,0)回报为零 min(ST-X,0)+p 第二节期权价格的特性 期权价格,是期权多头为了获取未来的某种权利而支付给空方的对价。期权价 的确定是一件复杂的工作。在分析期权定价之前,本节首先从多个角度对期权价 格进行分析,为下一章的期权定价分析奠定基础。 、内在价值与时间价值 期权价格(或者说价值),等于期权的内在价值加时间价值。 (一)期权的内在价值 期权的内在价值( intrinsic value),是0与多方行使期权时所获回报最大贴现值 的较大值。看涨期权的“所获回报”为S-X,看跌期权为X-S,这里的r是指多方 行使期权的时刻。0由于欧式期权和美式期权可执行的时间不同,其内在价值的计 算也就有所差异。 对欧式期权来说,多方只能在期权到期时决定行权与否并获得相应回报,故此 r=T。例如,欧式看涨期权的到期回报为max(Sr-X,0),如果标的资产在期权存 续期内无收益,Sr的现值就是当前的市价S;如果标的资产在期权存续期内支付已 知的现金收益,Sr的现值则为S-1,其中I表示在期权有效期内标的资产所获得的 现金收益贴现至当前的现值。由于X为确定现金流,其现值的计算就是简单的贴 ①在理论界与实务界存在不同的内在价值定义,其主要差异在于是否进行贴现。本书定义的内在价值与 众不同,此定义拥有众多优点,具体分析请参见本章附录
金融工程回限 现,故此欧式无收益和有收益资产看涨期权的内在价值分别为max[S-Xer,0] 与mxS-1-Xe作°,0]。欧式看跌期权内在价值的分析类似于欧式看涨期权。 由于多头随时可以执行期权,美式期权的情况有所不同: (1)对无收益资产美式看涨期权而言,执行期权的回报为S-X,这里的r是指 美式期权执行的时刻。由于S的贴现值恒为S,而X的贴现值等于Xe(0,r,为 当前t时刻到未来τ时刻间的无风险利率。可见,该期权回报最大贴现值就是S Xer°。因此其内在价值等于max(S-Xe-r°,0)。 (2)对有收益资产①美式看涨期权而言,若在除权日前一天行权,其回报是 S-X,其贴现值是S-Xe(”,可视其为到期日为r的短期欧式看涨期权;若不行 权,可将其视为到期日为T、股利现值为I的长期欧式看涨期权。由于美式期权持有 者可以选择两种行权策略中较有利者,因此有收益资产美式看涨期权的内在价值为 max(S-Xe-,n,S-1-Xex°,0)。 (3)对无收益美式看跌期权而言,其执行时的回报为X-S,显然其最大贴现值 为X-S,其内在价值就是max(X-S,0)。 (4)对有收益资产②美式看跌期权而言,如果立即执行,其回报的贴现值为X一 S,可视其为到期日为今天的短期欧式看跌期权;如果在刚派发红利之后的x执行,其 回报的现值为Xe,m0-(S-1),可将其视为到期日为r、股利现值为I的长期欧式 看跌期权。由于美式期权持有者可以选择两种行权策略中较有利者,因此有收益资 产美式看跌期权的内在价值为max(X-S,Xe,ro-(S-1,0) 表10.2归纳了期权内在价值的计算公式。 表10.2期权的内在价值 内在价值 内在价值 看式有收益m0x(s-1-Xe(T,0)//无收益max(xe(=-s,0) 欧无收益mx(S-Xer0,0) 式有收益max(xe-r-(s-D 涨 期美 无收益 mx(S-Xer-,0):期美 无收益 max(X-S, 0) 权式有收益 max(S-Xe,(r-n 权式\有收益xc0-(S-D,0) max(X-S, S-|-Xe-r-,0) 注:无收益是指期权存续期内标的资产无现金收益,有收益指期权存续期内标的资产有已知的现金收益 下同。 需要强调的一点是,由于期权多头拥有权利而没有任何义务,当市场价格对其不 利的时候多头可以放弃行权,所以期权的内在价值始终应大于零,因此我们此处使用 了最大化函数。 ①假设该资产只在r+1派发现值为I的股利 ②假设该资产只在r-1派发现值为I的股利
第十章期权的回报与价格分析177 么【案例10.1】 通用电气(英文简称GE)看跌期权内在价值的计算 案例9.2中,2007年8月31日美国中部时间10:18,在CBOE,1份以通用 电气股票为标的资产、执行价格为40美元、到期日为2007年9月22日的美式 看跌期权价格为1.76美元,而同一天的通用电气股票收盘价为38.5美元。 GE2007年每季度的股息为0.28美元,第三季度股惠除权日为9月20日,股 息发放日为10月25日。根据2007年8月31日的美国国债利率期限结构,1 个月期年利率为4.02%,故此我们选择4%作为19天、23天和55天贴现率的 近似 GE期权是标的资产有收益情况下的美式期权。如果8月31日立刻执行 内在价值为: max(X-S,0)=max(40-38.5,0)=max(1.5,0)=1.5 如果持有至9月19日执行,则内在价值为 max(Xe(0-S,0)=max(40e-×125-38,5,0)=1,42 如果持有至9月20日执行,则内在价值为 max (S-D),0)=max(40e-4x20- (38.5-0.28c50=1.69 如果持有到期至9月22日执行,则内在价值为 max(Xe -(S-D, 0)=max(40e (38.5-0.28e-4%×5365),0)=1.68 因此,GE看跌期权的内在价值为1.69美元 案例10.1以第九章中的案例9.2为例,说明了期权内在价值的计算。 从以上计算可以看出,美式期权内在价值的计算是比较复杂的。我们在以后章 节可以看出,正是由于这个问题,美式期权的定价才比欧式期权的定价复杂得多。 (二)实值期权、平价期权与虚值期权 与期权内在价值紧密联系的几个概念是期权的“平价点”以及相应的实值期权 ( in the money)、平价期权( at the money)与虚值期权( out of the money)。所谓平价 点,就是使得期权内在价值由正值变化到零的标的资产价格的临界点。由于平价点 就是使得期权内在价值由正值变化到零的临界标的资产价格,根据表10.2中不同期 权的内在价值,表10.3归纳了不同类型期权的实值虚值区间和平价点 (三)期权的时间价值 在案例10.1中,GE美式看跌期权的内在价值为1.69美元,但其实际价格为 1.76美元。在这里0.07美元的价格差异意味着什么呢?这称为期权的时间价值 (time value)
178 金融工程回 表10.3实值期权、平价期权与虚值期权 实值期权 平价期权 虚值期权 「欧|无收益 s>Xe-NT-n s=Xe( SXe+1 s=Xe (r-o+I Smin(Xe",(rn S=min(Xe ,(r-n SXe"(T-n 看式有收益 SXe T-o+I 跌 期\美 无收益 Smax(X Xe",(r-p+D) Xe",(r-n+D) Xe",(r-o+1) 与货币的时间价值所表示的“资金暂时让渡所带来的价值”不同,期权的时间价 值是指在期权尚未到期时,标的资产价格的波动为期权持有者带来收益的可能性所 隐含的价值。以GE美式看跌期权为例,其内在价值为1.69,但在9月22,日之前, GE股票价格如果跌到40美元以下,看跌期权的多方就可能获利;当然,如果无法低 于40美元,多方就会放弃行权,而且无论GE股票涨到多少,多方都不会遭受更多损 失。因此,正是因为期权能给投资者带来这种不对称的盈亏可能,投资者愿意多付 0.07美元购买此看跌期权。 因此,概括地说,期权的时间价值就是基于期权多头权利义务不对称这一特性, 在期权到期前,标的资产价格的变化可能给期权多头带来的收益的一种反映。 其他条件相同的情况下,一般来说,距离期权到期时间越长,期权时间价值越大, 对美式期权来说尤其如此,这也是称之为“期权的时间价值”的原因。 其他条件相同的情况下,标的资产价格的变化越大,期权的时间价值就越大 般用标的资产价格的波动率来描述价格的变化,其确切定义将在第十一章给出。因 此有时也将期权的时间价值称为期权的波动价值 另一个不易被发现的关系是期权内在价值与时间价值之间的相关性。图10.3 描述了这样一个事实:期权的时间价值受内在价值的影响,在期权平价点时间价值达 时间价值 图10.3无收益资产看涨期权时间价值与(S-Xe-)的关系
第十章期权的回报与价格分析 179 到最大,并随期权实值量和虚值量增加而递减。为什么是这样的呢?案例10.2能帮 助我们很好地理解期权内在价值与时间价值之间的关系。的对聊上 【案例10.2】当3 内在价值与时间价值 假设A股票(无红利)的市价为9.05元,A股票有两种欧式看涨期权,其执 行价格分别为X1=10元,X2=8元,它们的有效期都是1年,1年期无风险利率 为10%(连续复利)显然,这两种期权的内在价值分别为 max[S-Xe“7,0=max(9.05-10×e2,0)=max(0,0)=0 max[SmXe7,0]=max(9.05-8×e1,0)=1.81(元) 期权1处于平价点,而期权2是实值期权。那么哪一种期权的时间价值高呢? 假设这两种期权的时间价值相等,都等于2元,则期权1的价格为2元,期权 的价格为3.81元。那么如果让你从中挑一种期权,你愿意挑哪一种呢?为了 比这两种期权,假定1年后出现如下四种情况 情况一:S>10元。则期权持有者可从期权1中获利(Sr-10-2×e1)= (S712.21)元,可从期权2中获利(Sr-8-3.81×e1)=(S7=12.21)元。期 权1获利金额等于期权2。 、情况二、S1=10元,则期权152×e1=2.21元,期权2也亏(3,81×e 2.21元期权1亏损等于期权2 情况三:8<S7<10元。则期权1亏2Xe=2.21元,而期权2(S7-8 3.81×e1)元,介于2.21元与4.21元之间。期权1亏损少于期权2。 情况四:S7≤8元,则期权1亏2×e1=2.21元,而期权2亏3.81×e元带 4.21元。期权1亏损少于期权2 由此可见,无论未来A股票价格是涨、跌还是平,期权1均优于或等于期权 2。显然,期权1的时间价值不应等于而应高于期权2。 再引入期权3:X1=12元,其他条件相同。比较期权1和期权3,期权1处于 平价点,而期权3为虚值期权。读者可以通过同样的分析发现,期权1的时间价 值应高于期权3 沿面 推广上述结论可以发现,无论期权2和期权3执行价格如何选择,只要是虚 值或实值期权,其时间价值一定小于平价期权,且时间价值随期权实值量和虚值 量增加而递减。 盖风 二、期权价格的影购因素 期权价格既然由内在价值和时间价值两部分构成,则凡是影响内在价值和时间
180 金融工程回以 价值的因素,就是影响期权价格的因素。总的来看,期权价格的影响因素主要有六 个,它们通过影响期权的内在价值和时间价值来影响期权的价格。 (一)标的资产的市场价格与期权的执行价格 标的资产的市场价格与期权的执行价格,是影响期权价格最主要的两个因素。 因为这两个价格及其相互关系不仅决定着内在价值,而且还进一步影响着时间价值。 看涨期权在执行时,其收益等于标的资产当时的市价与执行价格之差。因此,标 的资产的价格越高、执行价格越低,看涨期权的价格就越高。 对看跌期权而言,由于执行时其收益等于执行价格与标的资产市价的差额,因 此,标的资产的价格越低、执行价格越高,看跌期权的价格就越高。 (二)期权的有效期 如前所述,对美式期权而言,由于它可以在有效期内任何时间执行,有效期越长, 期权多头获利机会就越大,而且有效期长的期权包含了有效期短的期权的所有执行 机会,因此有效期越长,期权价格越高。 对欧式期权而言,由于它只能在期末执行,有效期长的期权就不一定包含有效期 短的期权的所有执行机会。这就使欧式期权的有效期与期权价格之间的关系显得较 为复杂。例如,同一股票的两份欧式看涨期权,一个有效期为1个月,另一个有效期 为2个月,假定在6周后标的股票将有大量红利支付,由于支付红利会使股价下降 在这种情况下,有效期短的期权价格甚至会大于有效期长的期权。 (三)标的资产价格的波动率 简单地说,标的资产价格的波动率是用于衡量标的资产未来价格变动不确定性 的指标,其确切定义将在第十一章给出。标的资产价格的波动率对期权价格具有重 要的影响,“没有波动率,则期权就是多余的”。如前所述,波动率对期权价格的影响 是通过对时间价值的影响而实现的。波动率越大,则在期权到期时,标的资产市场价 格涨跌达到实值期权的可能性也就越大,而如果出现虚值期权,则期权多头亏损有 限。因此,无论是看涨期权还是看跌期权,其时间价值以及整个期权价格都随着标的 资产价格波动率的增大而提高,随标的资产价格波动率的减小而降低。 值得注意的是,与决定和影响期权价格的其他因素不同,在期权定价时,标的资 产价格在期权有效期内的波动率在未来是一个未知数。因此,在期权定价时,要获得 标的资产价格的波动率,只能通过近似估计得到。一种简单的估计波动率的方法,是 利用过去所观察得到的标的资产价格波动的历史数据,用以估计未来价格的波动率 这一方法求得的波动率被称为历史波动率( history volatility)。当然,如果期权价格 已知,就可以反过来利用期权定价模型倒推出波动率,这种推算出来的波动率则被称 为市场报价中的隐含波动率( implied volatility) (四)无风险利率 影响期权价格的另一个重要因素是无风险利率,尤其是短期无风险利率。利率 对期权价格的影响是比较复杂的,需要进行区别分析。分析角度不同,得出的结论也
第十章期权的回报与价格分析 181 各不相同。 利率对期权价格的影响,主要体现在对标的资产价格以及贴现率的影响上。这 影响又需要从两个方面加以探讨: 第一,可以从比较静态的角度考察,即比较不同利率水平下的两种均衡状态。如 果状态1的无风险利率较高,则标的资产的预期收益率也应较高,这意味着对应于标 的资产现在特定的市价S,未来预期价格E(S)较高。同时由于贴现率较高,未来同 样预期盈利的现值就较低。这两种效应都将降低看跌期权的价值。但对看涨期权来 说,前者将使期权价格上升,而后者将使期权价格下降。由于前者的效应大于后者, 因此对应于较高的无风险利率,看涨期权的价格也较高。 第二,可从动态的角度考察,即考察一个均衡从被打破到重新形成均衡的过 程。在标的资产价格与利率呈负相关时(如股票、债券等),当无风险利率提高时, 原有均衡被打破,为了使标的资产预期收益率提高,均衡过程通常是通过同时降低 标的资产的期初价格和预期未来价格,只是前者的降幅更大来实现的。同时贴现 率也随之上升。对看涨期权来说,两种效应都将使期权价格下降;而对看跌期权来 说,前者效应为正,后者为负,由于前者效应通常大于后者,因此其净效应是看跌 期权价格上升。 此处应注意,从两个角度得出的结论刚好相反。因此,在具体运用时要注意区别 分析的角度,根据具体情况作全面、深入的分析。由于在讨论期权价格影响因素时, 都是假定其他条件不变时考察不同利率水平对期权价格的影响,因此人们大多采用 比较静态法来考察利率对期权价格的影响。 (五)标的资产的收益 按照美国市场惯例,标的资产分红或者是获得相应现金收益的时候,期权的执行 价格并不进行相应的调整。这样,标的资产进行分红付息,将减少标的资产的价格, 这些收益将归标的资产的持有者所有,同时执行价格并未进行相应调整。因此,在期 权有效期内标的资产产生现金收益将使看涨期权价格下降,而使看跌期权价格上升 由以上分析可知,决定和影响期权价格的因素很多,而且各因素对期权价格的影 响也很复杂,既有影响方向的不同,又有影响程度的不同;各个影响因素之间,既有相 互补充的关系,又有相互抵消的关系。表10.4对这些主要影响因素作了一个基本的 总结。 表10.4影响期权价格的主要因素 期权类型 欧式看涨}欧式看美式看涨 美式看 标的资产市场价格 期权执行价格 有效期