222金融工程 (三)参数的确定 在建立二叉树的过程中,最重要的是参数p和d的确定。那么,到底应该根 据什么标准来确定这些参数呢? 我们知道,衡量证券价格的树型结构好坏的标准是它能否逼近证券价格的真实 分布。因此,和d的确定必须与证券价格的漂移率(A)与波动率(a)相吻合。中 在风险中性世界中,若期初的证券价格为S,则在很短的时间间隔△t末的证券 价格期望值应为Se。因此,参数p、a和d的值首先必须满足这个要求,即 Sea=p+(1-p)Sd (12.1) 此外,根据第十一章的讨论,当股票价格遵循几何布朗运动时,在一个小时 间段△内股票价格变化的方差为S2△t。根据方差的定义,变量Q的方差等于 E(Q)-[E(Q)]2,因此 S°a2△=pS2a2+(1-p)S2a2-Sp+(1-p)d o2△t=pa2+(1-p)d2-[pa+(1-p)d]2 2.2) 式(121)和(122)给出了计算p、v和d的两个条件。第三个条件的设定则可 能各自不同,考克斯、罗斯和鲁宾斯坦所用的条件是 (12.3) 从以上三个条件求得,当△t很小 (12.4) (12.5) 也可以用二叉树模型来刻画现实世界中股票价格的变化过程,只要把公式 (12.4)中的r改为就可以了 (四)倒推定价法 得到每个节点的资产价格之后,就可以在二又树模型中采用倒推定价法,从树型 结构图的末端T时刻开始往回倒推,为期权定价。由于在到期T时刻的预期期权价 值是已知的,例如看涨期权价值为max(Sr-X,0),看跌期权价值为max(X-Sr,0), 因此在风险中性条件下在求解T-△t时刻的每一节点上的期权价值时,都可通过将 T时刻的期权价值的预期值在△t时间长度内以无风险利率贴现求出。同理,要求解 T-2△t时的每一节点的期权价值时,也可以将T-△t时的期权价值预期值在时间 △t内以无风险利率贴现求出。以此类推。采用这种倒推法,最终可以求出零时刻 当前时刻)的期权价值 以上是欧式期权的情况。如果是美式期权,在每个时点先用与欧式期权同样 ①这是二叉树模型中最常用的第三个条件,后文将会谈到对第三个条件的其他设定方法