例4(P.89例5)若X和Y相互独立，且均服从N(0,1),求Z=X+Y的密度. 解fx(x)=D 2, -0<X<+00; 2π f0)=2ze,-<y<+o 由卷积公式 f,f,k-=2eek元 d 2元J- 均匀分布？ e=2元e.Z服从正态分布N0,2. 类似地可以证明： 若X和Y独立，且X~N(4,o),Y~N(42,o), 泊松分布、·二项分布 也有相应结论 → Z=X+Y~N(41+42,o1+o) 此结论推广到个独立的正态随机变量之和的情形请自行写出结论 更一般地，可以证明：若X;~N(4,O),且X1,X2,…,Xn独立，则 2aX,~N(244,2听o), 其中，(i=1,2,…,n)为常数. 服从正态分布的有限个独立随机变量的线性组合仍服从正态分布 如设X,Y独立，都具有正态分布，则3X+4Y+1也具有正态分布如设X,Y 独立,都具有正态分布，则 3X+4Y+1也具有正态分布 类似地可以证明: ~ ( , ) 2 2 2  Z  X Y N 1   2  1  若X和Y 独立, 此结论推广到 n个独立的正态随机变量之和的情形 例4(P.89例5) 若X和Y相互独立,且均服从N(0,1), 求Z=X+Y 的密度. 解 f x  e   x ； x X , 2 1 ( ) 2 2  f y  e   y ， y Y , 2 1 ( ) 2 2  由卷积公式    f z  f x f z  x dx Z X Y ( ) ( ) ( ) e e dx x z x        2 2 2 ( ) 2 2 1  e e dx z x z        2 2 ) 2 ( 4 2 1  令 2 z t  x e e dt t z       2 2 4 2 1  . 2 1 4 2 z e    ~ ( , ), ~ ( , ), 2 2 2 2 且 X N  1  1 Y N   请自行写出结论 服从正态分布的有限个独立随机变量的线性组合仍服从正态分布 更一般地, 可以证明: 泊松分布、二项分布 也有相应结论 均匀分布? 其中ai ( i =1,2,…, n)为常数. ~ ( , ), 1 2 2 1 1       n i i i n i i i n i aiXi N a  a  ~ ( , ), 2 i i 若 Xi N   且 X1 , X2 , …, Xn 独立, 则 ∴ Z 服从正态分布N(0,2)