3→2.9999. -2.001→-2.009999. -3-2.9999. 利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示.但新的问题又出现了：在此 规定下，如何比较实数的大小？ (仁)两实数大小的比较 1、定义1：给定两个非负实数x=a,4.an.,y=b,.bn.其中a,b为非负整数， a,b(k=1,2,)为整数，0≤a4≤9,0≤b,≤9.若有a4=b,k=1,2,则称x与y相等，记为 x=y:若a>或存在非负整数1，使得a=b,k=l,2.,1,而a1>1,则称x大于y或y小 于x,分别记为x>y或y<x.对于负实数x、y,若按上述规定分别有-x=-y或-x>-y,则 分别称为x=y与x<y(或y>x). 规定：任何非负实数大于任何负实数 2、数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）. 定义2（不足近似与过剩近似）：x=a4,.a,.为非负实数，称有理数r=a,4.an为实数x 的n位不足近似：了=或+移为实数x的n位过利近似。对于实数aA以，其n位 不足近似=-44.0.一10：n位过剩近似文=-440. 注：实数x的不足近似x,当n增大时不减，即有x≤x≤x≤.≤x过剩近似x。当n增大 时不增，即有x≥x2x2.x 命题：记x=a,4.a,.,y=b,.b,.为两个实数，则x>y的等价条件是：存在非负整 数n,使x,>。(其中x,为x的n位不足近似，.为y的n位过剩近似) 命题应用—例1 例1.设x,y为实数，x<y,证明存在有理数r,满足x<r<y. 证明：由x<少，知：存在非负整数，使得元<·令r=国+以小则r为有理数，且 x≤xn<r<y≤y.即x<r<y 3、实数常用性质（详见附录Ⅱ.P2-3:). 1)封闭性：实数集R对+，一，×÷四则运算是封闭的，即任意两个实数的和、差、积、商（除 44 3 2.9999 2.001 2.009999 3 2.9999 → − → − − → − 利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．但新的问题又出现了：在此 规定下，如何比较实数的大小？ (二) 两实数大小的比较 1、定义 1：给定两个非负实数 0 1 n x a a a = ， 0 1 n y b b b = . 其中 0 0 a b, 为非负整数， , k k a b ( 1, 2, ) k = 为整数， 0 9,0 9 k k     a b ．若有 , 1,2, k k a b k = = ，则称 x 与 y 相等，记为 x y = ；若 0 0 a b  或存在非负整数 l ，使得 , 1,2, , k k a b k l = = ，而 l l 1 1 a b + +  ，则称 x 大于 y 或 y 小 于 x ，分别记为 x y  或 y x  ．对于负实数 x、 y ，若按上述规定分别有 − = − x y 或 −  − x y ，则 分别称为 x y = 与 x y  （或 y x  ）． 规定：任何非负实数大于任何负实数． 2、数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）． 定义 2（不足近似与过剩近似）： 0 1 n x a a a = 为非负实数，称有理数 0 1 n x a a a = 为实数 x 的 n 位不足近似； 1 10 n n n x x = + 称为实数 x 的 n 位过剩近似；对于实数 0 1 n x a a a = − ，其 n 位 不足近似 0 1 1 10 n n n x a a a = − − ； n 位过剩近似 n n 0 1 x a a a = − . 注：实数 x 的不足近似 n x 当 n 增大时不减，即有 0 1 2 x x x x     ; 过剩近似 n x 当 n 增大 时不增，即有 0 1 x x x x     ． 命题：记 0 1 n x a a a = ， 0 1 n y b b b = 为两个实数，则 x y  的等价条件是：存在非负整 数 n，使 n n x y  （其中 n x 为 x 的 n 位不足近似， n y 为 y 的 n 位过剩近似）． 命题应用——例１ 例 1．设 x y, 为实数， x y  ，证明存在有理数 r ，满足 x r y   ． 证明：由 x y  ，知：存在非负整数 n，使得 n n x y  ．令 ( ) 1 2 n n r x y = + ，则 r 为有理数，且 n n x x r y y     ．即 x r y   ． 3、实数常用性质（详见附录Ⅱ．Ｐ２８９－３０２）． 1）封闭性：实数集Ｒ对 + −   , , , 四则运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商（除