数不为0)仍是实数 2)有序性：任意两个实数a,b必满足下列关系之一：a<b,a>b,a=b. 3)传递性：a<b,b>c→a>c, 4)阿基米德性：Va,b∈R,b>a>0→3n∈N使得a>b. 5)稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数. 6)实数集R与数轴上的点有着一一对应关系. 例2.设va,beR,证明：若对任何正数6，有a<b+6,则asb. 提示：反证法.利用“有序性”，取6=a-b. 二、绝对值与不等式（分析论证的基本工具）. (一)绝对值的定义 实数a的绝对值的定义为a叶{a20 -aa<01 (二)几何意义 从数轴看，数a的绝对值|a就是点a到原点的距离.认识到这一点非常有用，与此相应， Ix-al表示就是数轴上点x与a之间的距离 (三)性质 1)IaH-ap01a非0白a=0(非负性)： 2)-lalsasal: 3)Iakh=-h<a<h,Iakh=-h≤a≤h.(h>0): 4)对任何a,beR有|a-|bsa±bsa+|b1(三角不等式)： 5)labHal-1b1: 6月-8cb0> 三、几个重要不等式 a)a2+b2≥2ab4 sin x s1.sinx s x. (2)均值不等式：对a,a2,.,aneR,记 5 数不为 0）仍是实数． 2）有序性：任意两个实数 a b, 必满足下列关系之一： a b a b a b = , , ． 3）传递性： a b b c a c     , ． 4）阿基米德性：        a b R b a n N , , 0 使得 na b  ． 5）稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数． 6）实数集Ｒ与数轴上的点有着一一对应关系． 例 2．设   a b R , ，证明：若对任何正数  ，有 a b  + ，则 a b  ． 提示：反证法．利用“有序性”，取  = −a b . 二 、绝对值与不等式（分析论证的基本工具）． （一）绝对值的定义 实数 a 的绝对值的定义为 , 0 | | 0 a a a a a   =  −  ． （二）几何意义 从数轴看，数 a 的绝对值 | | a 就是点 a 到原点的距离．认识到这一点非常有用，与此相应， | | x a − 表示就是数轴上点 x 与 a 之间的距离． （三）性质 1） | | | | 0;| | 0 0 a a a a = −  =  = （非负性）； 2） −   | | | | aaa ； 3） | | a h h a h   −   ，| | .( 0) a h h a h h   −    ； 4）对任何 a b R ,  有 | | | | | | | | | | a b a b a b −    + （三角不等式）； 5） | | | | | | ab a b =  ； 6） | | | | a a b b = （ b  0 ）． 三、几个重要不等式 (1) 2 , 2 2 a + b  ab sin x 1. sin x  x . (2) 均值不等式: 对 , , , , 1 2 + a a  an  R 记