第17讲线性空间与线性变換 97 (A00)(x)=/(x),当λ<0时,xf(x)∈V, 即所定义的数与函数乘法对运算不封闭,故不能构成实数域上的线性空间 例2判断下列子集是否为给定的线性空间的子空间 (1)W1=1(x,1,0)∈R},W2=1(x,y,0)∈R' (2)W1=(x,y,2)∈R1x-y+5z=01, W2=1(x,y,x)∈R'x-y+5=1 解利用线性空间v的子集(非空)L构成子空间的充要条件是L对V的线性运算封闭 来判定 (1)设(a,1,0),(b,1,0)∈W1,A∈R,A≠1,则 (a,1,0)+(b,1,0)=(a+b,2,0)∈W1, A(a,1,0)=(a,,0)∈W1(A≠1), 即W1对R中的线性运算不封闭,因而W不能构成R的子空间而设(a1,a2,0),(b1,b2, 0)∈W2,λ∈R,则 (a1,a2,0)+(b,b2,0)=(a1+b1,a2+b2,0)∈W2, 即W2对R3的线性运算是封闭的故而W2构成R的子空间 (2)设(a1,a2,a3),(b1,b2,b3)∈W1,A∈R,则 (a1,a2,a3)+(b,b,b1)=(a1+b1,a2+b2,a3+b2), 而a1+b1-(a2+b2)+5(a3+b3)=a1-a2+5a3+b1-b2+5b3=0 即(a1,a2,a3)+(b1,b2,b3)∈W1,又因 λ(a1,a2,a3)=(Aa1,a2,Aa3), Aa1-a2+5ay=A(a1-a2+5a3)=0, 即 因此,W1对R中的线性运算封闭,即W1构成R3的子空间 设(a1,a2,a3),(b1,b2,b3)∈W2,A∈R(A≠1),则 a1,a2,a3)+(b1,b2,b3)=(a1+b1,a2+b2,a3+b3), 而a;+b1-(a2+b2)+5(a3+b)=a1-a2+5a3+b1-b2+5b3=2≠1, b1,b2,b3)∈W2 又因 A(a1,a2,a3)=(ia1,Aa2,ka3)(A≠1) 而 ka1-ka2+5Aa3=(a1-a2+5a3)=k≠1, A(a1,a2,a3)∈W2 因此,W2对R3中的线性运算不封闭,故W2不能构成R3的子空间 二、线性空间的维数、基与坐标、基变换与坐标变换 例3实数域R上的二阶方阵对矩阵的加法及数与矩阵的乘法构成线性空间R2,试